Estimatoare Stochastice-Filtre

6.1. FILTRU WIENER

Problema filtrării constă în a determina estimarea variabilelor sistemului atunci când mediul în care se desfăşoară procesul prezintă perturbaţii aleatoare. Se va studia aspectul stochastic al noţiunii de estimatori dezvoltat în capitolul precedent. Pentru a aborda această problemă pot fi utilizate două puncte de vedere: unul a lui Wiener care utilizează descrierea frecvenţială şi unul al lui Kalman descrierea temporală. În ambele cazuri, pentru început se determină un sistem (filtru), optimal în sensul minimizării variaţiei erorii dintre variabila reală şi estimarea sa. Se vor urmări succesiv aceste două metode dezvoltând, în particular cea de-a doua descrierea care permite studiul direct în cazul unui sistem nestaţionar multivariabil. În acest cadru se pot în acelaşi mod clasa problemele următoare de estimare a cantităţii de informaţie disponibilă. Se consideră un sistem pentru care se dă un ansamblu de măsurări , între momentele t0 (timpul iniţial) şi t0 (timpul final), pe intrări şi ieşiri. Se va căuta să se estimeze valoarea stării x la un moment dat (care se va nota cu ). În funcţie de valoarea lui , se disting teri situaţii:

- dacă este vorba de o problemă de netezire;

- dacă este vorba de o problemă de filtrare;

- dacă este vorba de o problemă de predicţie.

Atunci când o problemă de predicţie poate fi redusă la o problemă de filtrare printr-o estimare urmată de o predicţie prin utilizarea modelului iniţializat la xf, nu este aceeaşi ca la netezire. De fapt, această ultimă problemă poate fi rezolvată prin combinarea a două probleme de filtrare: o filtrare de la t0 la şi o filtrare retrogradată de la tf la . Această aplicaţie particulară a filtrajului va fi studiată în a treia parte acestui capitol, împreună cu aplicaţia filtrului lui Kalman la identificarea parametrilor modelului.

Metoda elaborată de Wiener [51] permite a determina matricea de transfer a filtrului (fig. 6.1) care reconstituie un semnal plecând de la o măsură alterată de un zgomot.

Fig. 6.1 Explicativă privind detecţia unui semnal.

Filtru optimal ales este acela care minimizează varianţa erorii de estimare, :

V=E (6.1)

Metoda se plasează în cazul semnalelor de intrare şi de ieşire scalare, însă poate fi aplicată şi în cazul sistemelor multivariabile [5]. Se va restrânge la rezolvarea unei probleme de filtrare (estimarea lui t plecând de la informaţiile disponibile până la acest moment), dar metoda poate fi utilizată pentru predicţie sau netezire.

6.1.1 Cazul semnalelor continue

Trebuie să se determine funcţia de transfer H(s) optimală. Semnalele şi sunt presupuse aleatoare, scalare, centrate, necorelate şi staţionare. Se vor distinge prin covarianţa celor două semnale şi :

, E , (6.2)

şi prin , spectru de covarianţă, care este, prin definiţie, transformata Laplace bilaterală a lui :

=Lb (6.3)

Transformata lui Laplace bilaterală poate fi calculată plecând de la forma lui Laplace L (.) cu relaţia:

Lb L + L* ,

(6.4)

L* [ L* ] .

Autovarianţa (covarianţa pentru y=x) este o funcţie pară:

, , (6.5)

în consecinţă, spectrul de autovarianţă se scrie sub forma:

(6.6)

6.1.1.1 Ecuaţia lui Wiener-Hopf

Pentru a putea estima , se va realiza un ansamblu de măsurări la ieşire:

(6.7)

După principiile de estimare a variabilelor aleatoare (exemplul 6.1), estimarea liniară optimală căută , verifică proprietatea de ortogonalitate:

. (6.8)

Exemplul 6.1 Estimarea unei variabile aleatoare. În acest exemplu, se vor descrie câteva din principiile de bază ale teoriei estimării unei variabile aleatoare prin măsurarea sau observarea unei alte variabile aleatoare. Variabilele considerate sunt vectoriale iar variabila aleatoare, notată cu literele mari, se distinge de realizarea sa, notată cu litere mici. Noţiunile abordate sunt utilizate în elaborarea şi demonstrarea ecuaţiilor filtrului Kalman.