Teoria Sistemelor

Reprezentarea Sistemelor Dinamice Liniare Multivariabile prin Matrice de Transfer

1. Matricea de transfer; legatura cu reprezentarile de tip intrare - stare - iesire

În multe situatii practice, modelarea intrare - stare - iesire a unui sistem dinamic liniar este dificil realizabila prin metode analitice datorita complexitatii relatiilor functionale ce descriu comportarea procesului investigat sau datorita imposibilitatii determinarii valorilor numerice ale unor constante de material ce intervin în modelul respectiv. Pentru astfel de procese (deseori întâlnite în industria metalurgica, chimica) este mult mai convenabila utilizarea unor metode de modelare experimentala (identificare); deoarece în astfel de metode sunt prelucrate valori referitoare la evolutia semnalelor (masurabile) de intrare si iesire ale procesului, modelul matematic asociat sistemului va corespunde unei explicitari directe a relatiilor de transfer intrare - iesire.

Prin generalizarea notiunii de raspuns la impuls cunoscuta de la procesele monovariabile, iesirea unui sistem multivariabil este dependenta de vectorul intrarii prin integrala de convolutie:

.... (1)

unde g(t) pxm defineste matricea de raspuns la impuls a sistemului dinamic liniar. Pentru a se evita calculul integro - diferential solicitat de exploatarea modelului intrare - iesire (1) se utilizeaza metode operationale (bazate pe aplicarea transformatei Laplace L{.}); ecuatia transferului intrare - iesire se poate explicita astfel prin:

.... (2)

G(s) fiind matricea de transfer a sistemului - matrice cu pxm elemente de tip fractii rationale:

.... (3)

Modelul intrare - iesire (2), (3) prezinta avantajul conferit de utilizarea stricta a calculului algebric în analiza si sinteza sistemelor automate, oferind de asemenea posibilitatea interpretarii frecventiale a comportarii sistemului dinamic (prin substitutia s=0+jÉ). Deoarece modelele intrare - iesire evita explicitarea transferului realizat de sistem prin intermediul variabilelelor de stare aplicabilitatea acestora se rezuma la cazul transferului fortat în conditii initiale nule.

Pentru un sistem dinamic liniar, invariant în timp, reprezentat prin modelul intrare - stare - iesire:

.... (4)

modelul intrare - iesire poate fi determinat cu relatia de calcul:

.... (5)

respectiv:

.... (6)

Problema inversa, de asociere a unui model intrare - stare - iesire pentru un sistem dinamic liniar a carui matrice de transfer este cunoscuta, accepta o infinitate de solutii; modelul de stare obtinut se numeste realizare a matriciide transfer.

Considerând cazul sistemelor strict cauzale, matricea de transfer poate fi reprezentata în urmatoarele forme echivalente: