Cuprins
- Capitolul 1 6
- Elemente de algebră liniară 6
- 1.1 Matrice 6
- 1.1.1 Definiţii. Exemple 6
- 1.1.2 Operaţii cu matrice 7
- 1.1.3 Matrice inversabile 13
- 1.1.4 Rangul unei matrice 20
- 1.1.5 Probleme 23
- 1.2 Sisteme de ecuaţii liniare 24
- 1.2.1 Definiţii 24
- 1.2.2 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare 26
- 1.2.3 Probleme 37
- Capitolul 2 40
- Spaţii vectoriale 40
- 2.1 Noţiunea de spaţiu vectorial. Exemple 40
- 2.1.1 Definiţia spaţiului vectorial 40
- 2.1.2 Exemple 41
- 2.1.3 Proprietăţi specifice operaţiilor cu vectori 42
- 2.2 Subspaţiu al unui spaţiu vectorial 43
- 2.2.1 Definiţia subspaţiului vectorial 43
- 2.2.2 Exemple de subspaţii 44
- 2.3 Dependenţă şi independenţă liniară. Bază. Coordonate 44
- 2.3.1 Dependenţă şi independenţă liniară 44
- 2.3.2 Bază. Coordonate 45
- 2.3.3 Schimbare de coordonate 46
- 2.4 Aplicaţii liniare 49
- 2.4.1. Definiţii şi exemple 49
- 2.4.2 Teorema de caracterizare a aplicaţiilor liniare 50
- 2
- 2.4.3. Izomorfisme de spaţii vectoriale 50
- 2.5 Probleme 51
- 2.6 Fişa de autoevaluare 53
- Capitolul 3 54
- Programarea liniară 54
- 3.1 Probleme de programare liniară 54
- 3.1.1 Problema de planificare a producţiei 55
- 3.1.2 Problemă de amestec 57
- 3.1.3 Problemă de planificare a investiţiilor 58
- 3.1.4 Forma standard a problemei de programare liniară 58
- 3.2 Rezolvarea problemelor de programare liniară 62
- 3.2.1 Clasificarea soluţiilor 62
- 3.2.2. Determinarea soluţiilor de bază 64
- 3.3 Algoritmul simplex 67
- 3.3.1 Etapele algoritmului simplex 67
- 3.3.2 Aducerea sistemului la forma standard 68
- 3.3.3 Găsirea unei soluţii de bază 68
- 3.3.4 Trecerea de la soluţia găsită la alta mai bună prin
- schimbarea bazei 69
- 3.3.5 Determinarea soluţiei optime 71
- 3.3.6 Exemple 73
- 3.4 Cazuri speciale într-o problemă de programare liniară 76
- 3.4.1 Cazul soluţiei infinite 77
- 3.4.2 Cazul soluţiei degenerate 78
- 3.4.3 Cazul soluţiilor multiple. Soluţia generală 80
- 3.5 Dualitatea în programarea liniară 83
- 3.5.1 Dualitatea simetrică 83
- 3.5.2 Dualitatea nesimetrică 87
- 3.6 Programarea transporturilor 88
- 3.6.1 Problema de transport. Modelul matematic 89
- 3.6.2 Metode de găsire a soluţiilor iniţiale de bază într-o
- problemă de transport 94
- 3.6.3 Determinarea soluţiei optime a problemei de transport
- prin metoda potenţialelor 96
- 3.6.4 Soluţii multiple 101
- 3.6.5 Degenerarea în problema de transport 102
- 3
- 3.6.6 Problema de transport neechilibrată 102
- 3.7 Probleme 103
- 3.7.1 Enunţuri 103
- 3.7.2 Răspunsuri 106
- Capitolul 4 110
- Elemente de analiză matematică 110
- 4.1 Funcţii reale de o variabilă reală 110
- 4.1.1 Vecinătate a unui punct. Punct de acumulare 110
- 4.1.2 Definiţia funcţiei reale de o variabilă reală 110
- 4.1.3 Limita unei funcţii într-un punct 111
- 4.1.4 Continuitatea unei funcţii într-un punct 111
- 4.1.5 Derivabilitatea unei funcţii într-un punct 112
- 4.2 Funcţii reale de mai multe variabile reale 115
- 4.2.1 Mulţimi şi puncte din Rn. Vecinătăţi 115
- Rn = {x = (x1, x2, , xn) | xi ∈ R, ∀i = 1, , n} 115
- 4.2.2 Funcţii de două variabile 116
- 4.2.3 Limite şi continuitate pentru funcţii de două variabile
- 117
- 4.2.4 Derivate parţiale 118
- 4.2.5 Funcţii diferenţiabile 120
- 4.2.6 Interpretări economice ale derivatelor parţiale 122
- 4.2.7 Derivatele funcţiilor compuse 122
- 4.2.8 Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabile 123
- 4.2.9 Extremele funcţiilor de două variabile 125
- 4.2.10 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile 126
- 4.3 Ajustarea datelor numerice 128
- 4.3.1 Problema 128
- 4.3.2 Metoda centrelor de greutate 129
- 4.3.3 Metoda celor mai mici pătrate 130
- 4.4 Integrale generalizate 131
- 4.4.1 Integrala Riemann 131
- 4.4.2 Integrale improprii 132
- 4.4.3 Funcţia Gamma (integrala sau funcţia Euler de speţa a
Extras din curs
Capitolul 1
Elemente de algebră liniară
1.1 Matrice
1.1.1 Definiţii. Exemple
Definiţia 1.1.1 (Matrice): Fie R un inel. Se numeşte matrice cu m
linii şi n coloane cu elemente din R un tablou de forma:
=
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
, unde aij ∈ R.
Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din
R se notează: Mm,n(R). În cazul în care numărul de linii este egal
cu numărul de coloane, matricea se numeşte pătratică. Mulţimea
matricelor pătratice cu n linii şi n coloane se notează Mn(R).
Matricele se notează cu litere mari ale alfabetului latin.
Exemplul 1.1.2 (Matrice de diferite tipuri): Matricea A are 2 linii
şi 3 coloane, A ∈ M2,3(R); matricea B ∈ M5,3(R); matricea C ∈
M4,1(R) şi C se mai numeşte matrice coloană, matricea D ∈
7
M1,3(R) şi se mai numeşte matrice linie, iar matricea E ∈ M2(R),
fiind o matrice pătratică.
( )
8 0
3 4
0 2 3 ;
;
3
2
9
4
;
2 3 5
10 4 9
7 2 6
6 4 1
11 0 8
;
5 0 1
2 3 4
−
= − =
−
=
− −
− −
−
−
=
−
−
=
D E
A B C
O matrice care are o singură linie se numeşte matrice linie,
iar o matrice care are o singură coloană se numeşte matrice
coloană.
Matrice diagonală este o matrice care are elemente nenule
numai pe diagonala principală, celelalte elemente fiind egale cu 0.
Matrice triunghiulară. O matrice care are toate elementele
de sub diagonala principală egale cu zero se numeşte
triunghiulară superior, adică aij = 0, pentru i > j. O matrice care
are toate elementele de deasupra diagonalei principale egale cu
zero se numeşte triunghiulară inferior, adică aij = 0, pentru i < j.
1.1.2 Operaţii cu matrice
1.1.2.1 Adunarea matricelor
Definiţia 1.1.3: Fie matricele A şi B ∈ Mm,n(R). Matricea A + B se
defineşte astfel:
8
1 1 2 2
21 21 22 22 2 2
11 11 12 12 1 1
1 2
21 22 2
11 12 1
1 2
21 22 2
11 12 1
+ + +
+ + +
+ + +
+ =
= =
m m m m mn mn
n n
n n
m m mn
n
n
m m mn
n
n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A B
b b b
b b b
b b b
B
a a a
a a a
a a a
A
Observaţia 1.1.4: Două matrice se pot aduna numai dacă sunt de
acelaşi tip, adică au acelaşi număr de linii, respectiv coloane şi au
elementele din acelaşi inel.
Exemplul 1.1.5: Fie matricele A şi B ∈ M3,2(Q),
.
5 10
5 14
1 9
3 2 0 10
11 6 23 9
2 3 5 4
, atunci :
2 10
6 9
3 4
şi
3 0
11 23
2 5
−
A = B A B
Proprietăţile adunării
1. Asociativitatea : Oricare ar fi matricele A, B, C ∈ Mm,n(R),
(A + B) + C = A + (B + C).
Această proprietate rezultă din faptul că R este un inel, unde
operaţia
aditivă este asociativă şi atunci: oricare ar fi aij, bij, cij, cu 1 ≤ i ≤
m şi
1 ≤ j ≤ n elementele matricelor A, B şi C,
(aij + bij) + cij = aij + (bij + cij).
2. Comutativitatea: Oricare ar fi matricele A şi B ∈ Mm,n(R),
Preview document
Conținut arhivă zip
- Matematica.pdf
Alții au mai descărcat și
PROBLEMA 1 – PROGRAMARE LINIARA O firmă are 4 tipuri de produse (P1, P2, P3, P4) care sunt fabricate din 4 materii prime ( ). Beneficiile unitare,...
INTRODUCERE Viaţa socială a pus dintotdeauna multiple probleme, îndeosebi de ordin administrativ. Nevoia a dus la apariţia funcţiei publice şi a...
Introducere Imaginati-va o viata in care munca este optionala, iar statul garanteaza un standard minim de trai, indiferent de efortul depus sau de...
Introducere Cercetarea ştiinţifică are menirea de a promova descoperiri de noi legi, teorii, etc., care contribuie la îmbogăţirea cunoaşterii...
CAPITOLUL I AGRICULTURA RAMURĂ A PRODUCŢIEI MATERIALE Agricultura reprezintă în ansamblul economiei naţionale una din ramurile de mare...
Un consumator alocă venitul V pentru cumpărarea a două bunuri. Notăm x1 şi x2 cantităţile de bunuri consumate şi p1, p2 preţurile unitare ale...
CAPITOLUL I. BAZELE TEORETICO-METODOLOGICE ALE ANALIZEI ECONOMICO-FINANCIARE 1.1 DEFINIREA ANALIZEI ECONOMICO-FINANCIARE În spaţiul...
Te-ar putea interesa și
ARGUMENT Şcoala este orientată, în primul rând, spre instruirea elevului normal dezvoltat, de la al cărui nivel se porneşte în stabilirea...
CAPITOLUL I INTRODUCERE. MOTIVAREA ALEGERII TEMEI 1.1. CUNOAŞTERE ŞI ÎNVĂŢARE LA VÂRSTA PREŞCOLARĂ Numeroşi psihologi şi-au focalizat...
MOTIVAŢIA ALEGERII TEMEI Am ales această temă având în vedere ca, prin studiul efectuat pentru pregătirea ei şi colaborat cu experienţa la clasă,...
INTRODUCERE Fenomenele economico-sociale au un caracter complex, ceea ce determină ca în studiul lor să se folosească modalităţi de investigare şi...
ARGUMENT Tema „ Stimularea potențialului creativ prin joc didactic matematic, la ciclul primar” a pornit de la ideea că introducerea jocului...
Argument MOTTO: Matematica va fi limba latină a viitorului, obligatorie pentru toți oamenii de știință. Tocmai pentru că matematica permite...
INTRODUCERE „...jocul este munca, este binele, este datoria, este idealul vieții...este singura atmosferă în care ființa sa psihologică poate să...
INTRODUCERE „Fiecare dintre cele două părţi va căuta să prevadă acţiunea celuilalt, trăgând concluzii din caracterul, instituţiile, situaţia şi...