Cursuri ASCL

matematicianul irlandez: George Boole (1815-1864) - "Analiza legilor gândirii"

Pentru definirea algebrei booleene se consideră:

o mulţime notată cu B cu cel puţin 2 elemente distincte, în care se definesc:

2 operaţii: SAU şi ŞI, notate: “ + ” respectiv “ · ”, şi

relaţia de echivalenţă, notată cu “ = “ (reflexivă, simetrică şi tranzitivă)

2 constante caracteristice: 0 şi 1

Numim algebră booleană un sistem format de mulţimea B nevidă, cu relaţia de echivalenţă, cele două operaţii fundamentale SAU şi ŞI şi constantele caracteristice 0 şi 1, care satisface următoarele axiome:

A1) Operaţia SAU este asociativă: a,b,c B: (a + b) + c = a + (b + c)

A2) Operaţia ŞI este asociativă: a,b,c B: (a· b)· c = a· (b· c)

A3) Operaţia SAU este comutativă: a,b B: a + b = b + a

A4) Operaţia ŞI este comutativă: a,b B: a· b = b· a

A5) Există un singur element neutru faţă de operaţia SAU, elementul neutru 0: a B: a + 0 = 0 + a = a

A6) Există un singur element neutru faţă de operaţia ŞI, elementul neutru 1: a B: a· 1 = 1· a = a

A7) Operaţia SAU este distributivă faţă de operaţia ŞI: a,b,c B: a + (b· c) = (a + b)· (a + c)

A8) Operaţia ŞI este distributivă faţă de operaţia SAU: a,b,c B:

a· (b + c) = a· b + a· c

A9) Orice element a din B are un complement în B, notat cu , (se citeste NU a), astfel încât:

a · = 0 şi a + = 1

T1) a + a = a (Teorema idempotenţei)

Demonstraţie:

teorema generalizată: a + a + a + ..... + a = a

T2) a a = a

Demonstraţie:

Generalizare: a a ... a = a

T3) a + 1 = 1