Regimul tranzitoriu și transformata Laplace

Metoda operationala de analiza a circuitelor electrice liniare in regim tranzitoriu

Metoda operationala de calcul a regimurilor tranzitorii a fost imaginata de Heaviside.

In principiu ea consta în reprezentarea simbolica a derivatei prin operatorul s, respectiv a integralei prin operatorul .

Fundamentul matematic al acestui calcul operational consta în aplicarea transformatei Laplace. Aplicând transformata Laplace unei ecuatii integro-diferentiale, ea devine o ecuatie algebrica de variabila s. Se rezolva ecuatia algebrica în s si, aplicând apoi transformata Laplace inversa, se obtine solutia generala a ecuatiei integro-diferentiale.

1. Transformatele Laplace ale unor functii uzuale

Transformata Laplace a unei functii f(t), notata cu simbolul L[f(t)] sau F(s), este definita cu ajutorul integralei:

(1)

unde operatorul s este un numar complex de forma :

(2)

Pentru simplificare, desi s este un numar complex, el nu se va reprezenta subliniat. In relatia. (1) f(t) se numeste functie original, iar F(s) se numeste imagine.

Pentru a se putea aplica transformata Laplace unei functii f(t), functia trebuie sa îndeplineasca urmatoarele conditii: f(t) sa fie neteda pe portiuni; f(t) trebuie sa creasca mai lent decât functia , deoarece în caz contrar integrala (1) nu are limita; f(t)=0 pentru t < 0. In general, toate functiile din electrotehnica satisfac primele doua conditii.

A treia conditie nu este satisfacuta în cazul condensatoarelor de catre tensiunea la bornele condensatorului uc si atunci se procedeaza astfel:

(3)

Functia uc s-a descompus în doua componente din care prima Uc0 este constanta. Cu aceasta descompunere este îndeplinita si cea de a treia conditie în transformata Laplace.

În cele ce urmeaza se dau transformatele Laplace ale celor mai uzuale functii.

a)Transformata Laplace a functiei impuls unitate. Functia impuls unitate a lui Dirac este reprezentata în figura 24.16 si este definita de relatiile :

(4)

si

(5)

Aplicând transformata Laplace (relatia1) functiei impuls se obtine:

(6)

deoarece integrala de la la este nula, conform (3). Întrucât , exponentiala poate fi considerata egala cu unitatea in intervalul , deci în final:

(7)

conform definitiei (4).

b) Imaginea functiei treapta unitate . Functia treapta unitate este reprezentata în figura 2 si este definita astfel:

(8)

Aplicând relatia (1) se obtine imaginea:

(9)

c)Imaginea unei sume de functii. Este egala cu suma imaginilor functiilor:

(10)

d) Imaginea unei derivate. Aplicând relatia (1) si integrând prin parti, se obtine:

(11)

e) Imaginea unei integrale. Este data de relatia:

(12)

care se deduce imediat din (11).

f) Imaginea unei exponentiale

(13)

Procedând astfel, se pot deduce imaginile diverselor functii. In tabelul 1 se dau imaginile celor mai uzuale functii: