Electrotehnică II - capitolul 8

8 Unde electromagnetice în spatiu liber

8.1 Ecuatiile undelor electromagnetice

Ecuatiile lui Maxwell releva posibilitatea propagarii în spatiu a câmpului electromagnetic sub forma de unde electromagnetice, fapt confirmat experimental de catre H. Hertz. În cele ce urmeaza vom stabili ecuatiile pe care le satisface câmpul electromagnetic într-un punct dintr-un domeniu nelimitat, în care nu exista o sarcina libera ( rv=0), umplut cu un mediu omogen, liniar si izotrop, aflat în repaus.

Cu aceste ipoteze, ecuatiile lui Maxwell devin

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

Aplicând operatorul Ñ´(×) ecuatiei (1c) si tinând cont de ecuatia (1d), obtinem

Folosindu-ne de identitatea vectoriala

si tinând cont de rel. (1a), obtinem

(2a)

unde Ñ2 este operatorul Laplace aplicat unui câmp vectorial (vezi cap1).

În mod similar, dar pornind de la rel.(1d), obtinem

(2b)

Solutiile E(x, y, z, t) si H(x, y, z, t) ale acestor doua ecuatii cu derivate partiale, de ordinul 2, liniare, corespund unei unde electromagnetice, motiv pentru care sunt denumite ecuatiile undelor electromagnetice, sau ecuatiile lui Helmholtz.

Daca sursele de câmp variaza sinusoidal în timp, atunci si E(t), H(t) variaza sinusoidal deoarece mediul este presupus liniar. În acest caz putem folosi metoda reprezentarii în complex a functiilor sinusoidale, asa cum am procedat deja la vectorul Poynting:

Vectorilor reali si le vor corespunde vectorii complecsi , respectiv , unde si sunt versorii corespunzatori.

Ecuatiile pe care le satisfac vectorii complecsi se obtin din ecuatiile (2a, 2b) înlocuind vectorii reali cu vectorii complecsi corespunzatori si operatorul de derivare în raport cu timpul prin înmultirea cu jw a vectorului complex respectiv:

(3a)

(3b)

Cu notatia

(4)

cele doua ecuatii devin

(5a)

(5b)

Marimea complexa introdusa anterior,

(6)

se numeste constanta de propagare. Asa cum vom vedea când rezolvam ecuatiile de unda (5.6), partea reala a caracterizeaza micsorarea amplitudinii undei electromagnetice care se propaga într-un mediu disipativ, de unde denumirea de constanta de atenuare; partea reala ² intervine în faza undei, motiv pentru care se numeste constanta de faza. Analiza dimensionala a rel.(5) ne arata ca [g]=m-1, de unde si [a]=[²]=m-1. Pentru a face totusi o diferentiere între a si ², s-a convenit ca [a]=Np/m, [²]=rad/m, ceea ce nu contravine cu dimensiunea fizica a acestor constante deoarece neperul (Np) si radianul sunt unitati de masura adimensionale.

Ecuatiile (5a, 5b) se puteau obtine si pe alta cale si anume pornind de la ecuatiile lui Maxwell în complex

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

Acuma repetam procedura care ne-a condus la ecuatiile (2a, 2b): aplicam operatorul Ñ´(×) ecuatiei (7c), tinem cont de ecuatia (7d) s.a.m.d..

Daca trecem la un sistem de coordonate cartezian, ecuatiile (5) devin