Modelarea Sistemelor Electromecanice

1. INTRODUCERE

De ce trebuie să studiem modelarea?

Pentru a răspunde la aceasta întrebare avem nevoie de câteva concepte şi definiţii de bază.

Vom porni prin a defini termenul de sistem: Un sistem este caracterizat în fapt prin ce putem vedea

că îi aparţine şi ce nu. De asemenea putem specifica interacţiunea sistemului cu mediul în care se

află. De acum în colo el poate fi observat şi controlat.

* Sunt variabile generate de mediu şi care influenţează comportarea sistemului. Acestea sunt

numite intrări ale sistemului.

* Sunt alte variabile determinate de sistem şi care determină o influenţă asupra mediului.

Acestea se numesc ieşiri ale sistemului.

Aceasta conduce la o posibilă definire a termenului de sistem [1]:

Un sistem este o potenţială sursă de informaţii

Putem defini termenul de experiment:

Un experiment este procesul de extragere a informaţiilor dintr-un sistem în funcţie de

intrările acestuia.

A desfăşura un experiment asupra unui sistem înseamnă a aplica un set de condiţii externe

la intrare şi a observa reacţia sistemului la acestea prin înregistrarea comportării ieşirilor. Marele

dezavantaj al sistemelor reale este faptul că aceste sisteme sunt sub influenţa unor intrări

necontrolabile (numite disturbaţii) şi nu toate informaţiile necesare la ieşire sunt accesibile prin

măsurare. Definiţiile sistemului şi ale experimentului dau posibilitatea definirii termenului de

model:

Un model M al unui sistem S caracterizat printr-un experiment E reprezintă tot ceea ce

experimentul E poate cere sistemului S pentru a-l defini.

În prezentul curs, ne vom concentra asupra subclasei de modele pe care le numim modele

matematice. Acestea reprezintă relaţiile dintre variabilele sistemului în ecuaţii matematice. Prin

efectuarea experimentelor, colectam informaţii despre sistem.

Modelarea reprezintă procesul de organizare a informaţiilor despre un sistem dat.

La început aceste informaţii sunt nestructurate. Pentru a înţelege care sunt cauzele şi care

sunt efectele, vom organiza aceste informaţii. De fapt, vom realiza procesul de modelare. Scopul

principal al modelului folosit implică alegerea formei particulare a acestuia. Cu alte cuvinte, un

model poate fi considerat ca o unealtă specializată, dezvoltată pentru o aplicaţie particulară. Bine

înţeles, aceasta determină folosirea a mai multor modele pentru aplicaţii diferite ale aceluiaşi

sistem. În particular, inginerul foloseşte un model pentru a dezvolta un algoritm de verificare a

lucrului sistemului. Aceste modele, din motive de verificare, trebuie să fie cât mai simple posibil.

Adesea un model care înglobează efecte de prim ordin este inadecvat. O bună realizare presupune

luarea în calcul a efectelor de ordinul doi. Din alt punct de vedere realizarea controlului este adesea

în relaţie directă cu complexitatea modelului. Simularea doreşte să dezvolte modele

MODELAREA SISTEMELOR ELECTROMECANICE – partea I Titular: ş.l. ing. Niculai BARBĂ

corespunzătoare datelor experimentale în funcţie de necesităţi. Aceasta cerinţă conduce la

dezvoltarea unor modele mai complexe.

Sunt tipuri diferite de modele matematice [1], [6]. Ne vom concentra studiul asupra

modelelor parametrice care sunt descrise de ecuaţii diferenţiale de forma

Cum realizam procesul de modelare?

1. Vom porni prin descrierea fizică a sistemelor dinamice. Aceasta implică o discuţie asupra

efectelor fizice care trebuie luate în considerare.

2. Calcularea unei singure cantităţi care determină comportarea în timp a sistemului

dinamic. Mai târziu, vom arăta că această cantitate se numeşte Lagrangian extins.

3. Derivarea ecuaţiilor de mişcare. Un program de calcul algebric (MAPLE V) este folosit

pentru a deriva modelul matematic în mod automat.

4. Simularea modelului (MATLAB sau DYNAST) este realizată automat.

5. Simularea.

Sumar

Derivarea ecuaţiilor de mişcare (modelul matematic) poate fi obţinut aplicând principiul

variaţiei energiei. Există o terminologie comună pentru toate tipurile de sisteme, cum ar fi cele

electrice, mecanice, magnetice, etc. prin definirea funcţiilor energiei în termenii coordonatelor

generalizate. Apoi, prin folosirea unui singur principiu fundamental, ex. principiul lui Hamilton,

ecuaţia mişcării este determinata. Variaţia apropiata este aproape de forma analitica şi în urma

calculelor matematice, înţelegerea proceselor fizice interne poate fi pierduta. Cu toate acestea, dacă

metoda este bine înţeleasă, procesul fizic se poate deduce din generalitatea metodei. Exista o

multitudine de funcţii energetice diferite (ex. Lagrangian, energia totala) care pot fi folosite.

În acest curs, modelarea sistemelor mecanice pure este bazată în principal pe Lagrangian

care este o funcţie a coordonatelor generalizate şi a vitezelor asociate. Dacă toate forţele sunt

derivabile la potenţial, atunci comportarea dinamica a sistemului în timp este determinată. Pentru

sistemele mecanice simple, Lagrangianul este definit ca diferenţa dintre energia cinetica şi energia

potenţială.

Exista o similitudine cu sistemele electrice. Ecuaţia de mişcare este unic definită folosind

coenergia electrică şi cantitatea de putere. Curentul de inducţie şi căderea de tensiune pe capacitor

joacă rolul de coordonate generalizate. Toate constrângerile, în principiu cauzate de legile lui

Kirchoff, au fost eliminate.

În consecinţă, avem cantităţile (energia cinetica şi potenţială, forţele generalizate) care

determină partea mecanică şi cantităţile (coenergiile, puterile) pentru a descrie partea electrică.

Aceasta oferă o combinaţie a părţilor mecanica şi electrică ca forme de energie apropiate. Ca

rezultat, vom avea un Lagrangian extins.

MODELAREA SISTEMELOR ELECTROMECANICE – partea I Titular: ş.l. ing. Niculai BARBĂ

2. SISTEME MECANICE

2.1. Derivarea ecuaţiilor Lagrange

În cazul sistemelor formate din N particule avem nevoie, în general, de 3N coordonate

pentru a specifica poziţia tuturor particulelor. Daca exista constrângeri, atunci numărul de

coordonate necesar pentru descrierea sistemului este redus. De exemplu, pentru descrierea unui corp

rigid, avem nevoie de sase coordonate, trei pentru punctul de referinţă şi trei pentru orientare. În

general, numărul minim de coordonate n , numit şi grade de libertate, este recomandat pentru a

specifica configuraţia. De obicei, aceste coordonate sunt notate prin i q şi se numesc coordonate

generalizate. Vectorul coordonata