Prelucrarea numerică a semnalelor din sistemele de măsurare - timp-frecvență - Wavelet

Grossman-Morlet wavelets (timp-scarã)

Analiza timp-scarã (denumitã în prelucrarea de imagini analiza “spatiu-scarã”) mai este

apelatã si sub denumirea de “analiza multi-rezolutie” si se realizeazã prin înlocuirea semnalului de

analizat, la o anumitã scarã (scalã) prin cea mai bunã aproximare ce poate fi atinsã la acea scarã

specificatã. Prin deplasarea dinspre scãrile înalte cãtre cele fine, se realizeazã o operatie de mãrire

(“zoom”) ajungîndu-se la reprezentãri din ce în ce mai exacte ale semnalului.

Analiza este fãcutã prin determinarea varitiilor ce apar la trecerea de la o scarã la alta.

Acestea sînt asa-numitele detalii care permit, prin adãugarea la reprezentarea existentã, o descriere

mai bunã a semnalului. Aceastã schema algoritmica se numeste “multiresolution analysis” si este

echivalenta unei descompuneri atomice în care atomii sînt chiar undinele Grossman-Morlet.

Pentru a defini aceste undine, (wavelets), se va porni de la o functie È(t), de variabilã realã

t, numitã si “mother wavelet”, care are proprietatea de a fi bine localizatã în timp si oscilatorie

(wave=oscilatorie; wavelet=localizatã în timp).

............

Functia “mother wavelet”, È(t), va genera o familie de undine, functiile È( )( ) a b t , , a>0, b, prin

schimbarea scãrii (care la functia È(t) este consideratã conventional ca fiind 1) într-o valoare a>0

si prin translatãri în timp (functia È(t) se considerã conventional centratã în jurul lui t=0) astfel cã

functia È( )( ) a b t , va fi centratã în jurul momentului de timp b:

............

Grossmann si Morlet au demonstrat cã, dacã functia initial consideratã, È(t), are valori reale,

atunci setul descris de (1.2.) poate fi utilizat ca o simplã bazã ortonormalã, deci ca orice semnal de

energie finitã poate fi reprezentat ca o combinatie linearã de wavelets È( )( ) a b t , si, în plus,

coeficientii acestei dezvoltãri sînt, pînã la un factor de normalizare, produsele scalare:

............

Dennis Gabor a fost, însã, primul care a introdus undinele timp-frecventã (Gabor wavelets).

El a avut ideea de a împãrti o undã (a cãrei reprezentare matematicã este cos(Ét+Õ)) în segmente

si apoi sã retinã din întreaga undã doar cîte unul dintre aceste segmente, denumite în continuare

wavelet, si care are un început si un sfîrsit. Descompunerea unui semnal oarecare în undine Gabor

poate fi echivalatã cu dezvoltarea semnalului într-o bazã ortonormalã numai dacã este efectuatã

într-un spatiu continuu (pentru toate momentele de timp si toate frecventele posibile!) iar un

algoritm corespondent în lumea discretã nu existã. Proiectarea unui algoritm numeric care sã

realizeze ceea ce, în principiu, a fost schitat de teoria lui Gabor, constituie baza teoriei wavelets- un

exemplu fiind Malvar wavelets Dar existã un numãr infinit de mare de baze ortonormale construite

cu Malvar wavelets.