Formalismul Hamiltonian

a)Variabile canonice; Spaţiul fazelor.

Mecanica analitică se dezvoltă continuu şi mai ales pe măsură ce aplicaţiile devin tot mai numeroase, dovedindu-se o excelentă metodă de studiu a mişcării mecanice. Apare un nou formalism, denumit de Hamilton, alternativă deosebit de interesantă la formalismul lagrangian. William Rowan Hamilton porneşte de la ideea extrem de profundă că adevăraţii parametrii de stare dinamică ai unui punct material liber nu sunt coordonatele x,y,z şi vitezele vx,vy,vz, ci coordonatele x,y,z şi proiecţiile px, py, pz ale impulsului. Includerea masei particulei în parametrii de stare nu este un simplu artificiu matematic, teoria relativităţii şi mecanica cuantică vor arăta că nu viteza ci impulsul este adevărata mărime de stare dinamică. Această idee se extinde imediat în cazul sistemelor cu (s) grade de libertate, specificând starea prin cele (s) coordonate generalizate qi şi cele (s) impulsuri generalizate pi (i=l,2,3..s). Ansamblul format din cele (s) coordonate generalizate şi cele (s) impulsuri generalizate constituie variabilele canonice ale sistemului mecanic considerat; fiecare pereche de variabile (pi, qi) fiind denumite canonic conjugate.

Ansamblul coordonatelor generalizate (pi, qi) determină faza caracteristică stării dinamice a sistemului. Cei 2s parametrii (pi, qi) sunt coordonatele unui punct din spaţiul cu 2s dimensiuni, numit spaţiul fazelor.

b) Funcţia HAMILTON

Hamilton introduce o nouă funcţie de stare, dependentă de variabilele canonice, denumită, hamiltoniana sistemului H=H(pi,qit) şi definită prin relaţia:

Această relaţie arată un fapt important, acela că funcţia H se conservă, adică rămâne constantă în raport cu un referenţial inerţial, adică sistemul de puncte este izolat, fie situat într-un câmp de forţe conservative. Adevărata semnificaţie a hamiltonianei este pusă în evidenţă de termodinamică, dar până atunci vom încerca să vedem ce semnificaţie are aceasta pentru un punct material care se deplasează liber pe direcţia Ox într-un câmp de forţe de potenţial U(x) dar

În acest caz hamiltoniana se identifică cu funcţia de stare numită energie totală, de altfel identificarea este valabilă pentru condiţiile în care sistemul este conservativ şi schimbarea de variabile este independentă de timp ( axa fixe). În cazul în care schimbarea de variabile este dependentă de timp ( axe mobile) mărimile energie totală E şi funcţia Hamilton H pot fi ambele constante ale mişcări fără a fi identice.

c) Ecuaţiile canonice ale mişcării (Ecuaţiile lui Hamilton)

Ecuaţiile canonice se pot obţine din principiile variaţionale prezentate anterior, ca şi ecuaţiile lui Lagrange sau prin alte metode intuitive. În cele ce urmează vom deduce aceste ecuaţii pentru un caz particular şi anume pentru un punct material de masă m care se deplasează pe direcţia Ox într-un câmp conservativ de potenţial U(x). Pentru acest sistem, am arătat că hamiltoniana H este energia totală a sa. Conform legii a doua a dinamicii avem:

de asemenea se poate scrie

Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton se vor scrie sub forma:

Deşi reprezintă un caz particular, putem scrie în general, relaţii asemănătoare pentru orice sistem fizic izolat sau conservativ.

Cele 2s ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi constituie sistemul ecuaţiilor canonice sau ecuaţiilor de mişcare ale lui Hamilton.