Biblioteca

Analiza Matematica

Valoare:

Gratis *

Marime:

803,45 Kb

Pagini:

57

Nota:
7Analiza Matematica, 7 out of 10 based on 7 rating
Contine fisiere:

pdf


Domenii:

Matematica


Profesor:

Ioan Mircea popovici


Orice document downloadat sau uploadat este adaugat in Biblioteca Mea
Vezi informatii descarcari anterioare

Extras din document:

1.1 Limita inferioara si superioara a unui sir.
Sir Cauchy.
Fie (an) un sir de numere reale
Notam: ,
Avem, in mod evident () deoarece Ann rezulta caadica sirul ()0ennx este crescator, iar sirul () este descrescator. 0enny
Cum orice sir monoton are limita in R, fie:
Definitia 1. Elementul ,1R(respectiv RL definit mai sus se numeste limita inferioara (respectiv limita superioara) a sirului si se noteaza: 0)(ennanalim sau lim inf (respectiv nanalim sau lim sup ). na
Observatia 1. Din definitia 1 rezulta imediat egalitatile: Nnknkae=supinfknnka+e0infNnna=inflim Nnknkae=infsupknnka+e0sup
pentru orice .
De asemenea, din urmatorul sir de inegalitati evidente:
Exemplul 1. Pentru unde avem: ,
Definitia 2. Sirul se numeste Cauchy (sau fundamental) daca sa avem
Teorema 1. (Criteriul general a lui Cauchy). Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.
Demonstratie: Presupunem ca astfel incat sa avem:Luam si fie si deoarece '
Folosind inegalittea: deci sirul este Cauchy. 0)(enna
Reciproc, presupunem ca sirul este Cauchy si fie 0)(enna;0>µ datorita ipotezei astfel incat si sa avem: Nn')(µ',)(µnnNne*)(Np,2µ<+aapn deci .)()(,22'Npnnaaanpnne+<<+µµµ
Luam si fie deoarece '
In mod similar se poate obtine ,limµ<knaa si datorita unicitatii limitei unui sir, obtinem: ,limlimlimRaaannnn==’ adica sirul este convergent. 0)(enna
Teorema 2. Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca limita sa inferioara si limita sa superioara sunt reale egale, si, in plus, avem: 0)(ennannnnaaalimlimlim==’
Demonstratie. Daca este convergent, atunci, din teorema 1, rezulta ca este sir Cauchy si, din demonstratia aceleiasi teoreme, obtinem concluzia implicatiei de la stanga la dreapta. 0)(enna0)(enna
Reciproc, presupunem ca si fie RaLl==;0>µ
avem ,nu este un mejorant pentru sirul , prin urmare exista astfel incat: 0)(ennxNn'µ

In mod analog, avem ,infnNnyL>+µ deci µ+L nu este un minorant pentru sirul prin urmare exista un astfel incat: 0)(enny,''Nnµ


    Comentarii:

    Capitolele 1 si 2



    Documente similare:
    Preview document similar
    Analiza An I
    Cursul contine 93 pagini in format pdf cu o marime totala de 566.74 KB.
    Preview document similar
    Analiza
    Fituica contine 7 pagini in format doc cu o marime totala de 76.11 KB.
    Preview document similar
    Serii in Spatii Vectoriale Normale
    Cursul contine 31 pagini in format odt cu o marime totala de 25.81 KB.
    Preview document similar
    Serii
    Referatul contine 8 pagini in format doc cu o marime totala de 66.19 KB.
    Preview document similar
    Studiu Statistic asupra Evolutiei Consumului de Tutun in Romania ...
    Proiectul contine 26 pagini in format doc, xls cu o marime totala de 2.69 MB.
    Preview document similar
    Matematici Elementare - Calcul Diferential si Integral
    Cursul contine 102 pagini in format pdf cu o marime totala de 640.72 KB.
    Carti recomandate:
    Scrisa de Florin Lazar
    O zona mai putin explorata in studiul politicilor sociale din Romania, analiza comparativa este o abordare tot mai frecvent utilizata in domeniu. Pe langa aspectele metodologice, volumul prezinta rolul politicilor sociale in functionarea societatii si analizeaza din perspectiva comparativa sistemele de protectie sociala, de sanatate si de ... citeste tot
    Scrisa de Camelia Marinescu
    Lucrarea de fata - un caiet de limba latina al elevului din clasa a Xl-a - apare ca raspuns la solicitarile tuturor celor care au beneficiat si de primele doua lucrari - pentru clasele a IX-a si a X-a. Exercitiul analitic se aplica asupra materialului cuprins in excelenta antologie de texte din proza clasica latina care este manualul de limba ... citeste tot
    Scrisa de G. Vasilescu
    Manualul sintetizeaza si aplica principalele instrumente de calcul si analiza statistico-economica, precum si de evaluare a patrimoniului firmelor la nivel microeconomic cu exemplificari numerice, in principal, din domeniul industrial, agricol, constructiilor, transporturilor cu posibilitati de generalizare si pentru alte domenii de activitate ... citeste tot