Extras din curs
1.1 Limita inferioara si superioara a unui sir.
Sir Cauchy.
Fie (an) un sir de numere reale
Notam: ,
Avem, in mod evident () deoarece Ann rezulta caadica sirul ()0ennx este crescator, iar sirul () este descrescator. 0enny
Cum orice sir monoton are limita in R, fie:
Definitia 1. Elementul ,1R(respectiv RL definit mai sus se numeste limita inferioara (respectiv limita superioara) a sirului si se noteaza: 0)(ennanalim sau lim inf (respectiv nanalim sau lim sup ). na
Observatia 1. Din definitia 1 rezulta imediat egalitatile: Nnknkae=supinfknnka+e0infNnna=inflim Nnknkae=infsupknnka+e0sup
pentru orice .
De asemenea, din urmatorul sir de inegalitati evidente:
Exemplul 1. Pentru unde avem: ,
Definitia 2. Sirul se numeste Cauchy (sau fundamental) daca sa avem
Teorema 1. (Criteriul general a lui Cauchy). Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.
Demonstratie: Presupunem ca astfel incat sa avem:Luam si fie si deoarece '
Folosind inegalittea: deci sirul este Cauchy. 0)(enna
Reciproc, presupunem ca sirul este Cauchy si fie 0)(enna;0>µ datorita ipotezei astfel incat si sa avem: Nn')(µ',)(µnnNne *)(Np ,2µ<+aapn deci .)()(,22'Npnnaaanpnn e +<<+µµµ
Luam si fie deoarece '
In mod similar se poate obtine ,limµ<knaa si datorita unicitatii limitei unui sir, obtinem: ,limlimlimRaaannnn== ’ adica sirul este convergent. 0)(enna
Teorema 2. Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca limita sa inferioara si limita sa superioara sunt reale egale, si, in plus, avem: 0)(ennannnnaaalimlimlim== ’
Demonstratie. Daca este convergent, atunci, din teorema 1, rezulta ca este sir Cauchy si, din demonstratia aceleiasi teoreme, obtinem concluzia implicatiei de la stanga la dreapta. 0)(enna0)(enna
Reciproc, presupunem ca si fie RaLl==;0>µ
avem ,nu este un mejorant pentru sirul , prin urmare exista astfel incat: 0)(ennxNn'µ
In mod analog, avem ,infnNnyL>+µ deci µ+L nu este un minorant pentru sirul prin urmare exista un astfel incat: 0)(enny,''Nnµ
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza Matematica
- 1.pdf
- 2.pdf
- pregatire.pdf
Alții au mai descărcat și
Subiectul E 1) Să se determine raza de convergenţă (R=?), intervalul de convergenţă (I=?), şi respectiv mulţimea de convergenţă (C=?) pentru seria...
1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...
OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
1. Relaţii. Definiţie. Proprietăţi generale Se consideră cunoscute noţiunile de: mulţime, clasă, operaţii cu mulţimi şi logică matematică....
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
OBIECTIVELE Unității de învățare Nr. 1 Principalele obiective ale Unității de învățare Nr. 1 sunt: - Recapitularea noțiunilor de bază ale...
Te-ar putea interesa și
INTRODUCERE Societatea în care trăim s-a dezvoltat cu paşi uriaşi în ultimul secol. Aceşti paşi progresivi care au evoluat toate împrejurările cu...
Introducere Noțiunea de limită este indispensabilă în definirea și studiul conceptelor de bază ale analizei matematice: continuitatea,...
Tema de Proiect Sa se dimensioneze tehnologic un reactor de fabricare a PVC prin procedeul de polimerizare in suspensie. Date initiale...
INTRODUCERE În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a...
TEMA 1. CONCEPTE DE BAZĂ UTILIZATE ÎN ANALIZA STATISTICĂ Deciziile de zi cu zi se realizează, de cele mai multe ori, pe baza unor informaţii...
I. INTRODUCERE I.1. Prezentare generală a MathCad-ului Produsul software sau sistemul de programare MathCad este un instrument destinat...
Curs 1 Relatii. Corpul numerelor reale 1 Relatii Notiunea matematica de relatie are un grad mare de generalitate. Definirea si dezvoltarea...
INTRODUCERE Matematica se foloseşte în economie de la începutul secolului al XIX-lea. Matematica a adus rigurozitate şi precizie în analiza...