Cuprins
- 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAT IILOR METRICE 5
- 1.1 Introducere 5
- 1.1.1 Elemente de teoria teoria multimilor 5
- 1.1.2 Notiunea de aplicatie 6
- 1.2 Denitia spatiului metric 8
- 1.3 Multimi de puncte dintr-un spatiu metric 8
- 1.3.1 Spatii liniare normate 10
- 1.4 Multimea numerelor reale 12
- 1.4.1 Multimi marginite de numere reale 12
- 1.4.2 Intervale si vecinatati 14
- 1.5 Spatiul Rn 14
- 1.6 Functii cu valori ^n Rm 16
- 2 SIRURI SI SERII 19
- 2.1 Siruri de numere reale 19
- 2.2 Siruri ^n spatii metrice 23
- 2.3 Principiul contractiei 25
- 2.4 Siruri ^n Rp 27
- 2.5 Serii de numere reale 27
- 2.5.1 Serii convergente. Proprietati generale 27
- 2.5.2 Serii cu termeni pozitivi 31
- 2.5.3 Serii cu termeni oarecare 34
- 2.6 Serii ^n Rp 37
- 3 LIMITE DE FUNCT II 39
- 3.1 Limita unei functii reale de o variabila reala 39
- 3.1.1 Limita ^ntr-un punct 39
- 3.1.2 Proprietati ale limitei unei functii 39
- 3.2 Limita unei functii vectoriale de o variabila reala 41
- 3.3 Limita unei functii de o variabila vectoriala 42
- 4 FUNCT II CONTINUE 43
- 4.1 Continuitatea functiilor reale de o variabila reala 43
- 4.1.1 Continuitatea ^ntr-un punct 43
- 4.1.2 Proprietati ale functiilor continue 44
- 4 CUPRINS
- 4.1.3 Continuitatea uniforma 46
- 4.2 Continuitatea functiilor vectoriale 47
- 4.2.1 Continuitatea ^ntr-un punct 47
- 4.2.2 Continuitatea uniforma 48
- 5 DERIVATE SI DIFERENTIALE 49
- 5.1 Derivata si diferentiala functiilor de o variabila 49
- 5.1.1 Derivata si diferentiala unei functii reale de o variabila reala 49
- 5.1.2 Derivata si diferentiala unei functii vectoriale de o variabila reala 50
- 5.1.3 Derivate si diferentiale de ordin superior 52
- 5.1.4 Proprietati ale functiilor derivabile 54
- 5.2 Derivatele si diferentiala functiilor de n variabile 60
- 5.2.1 Derivatele partiale si diferentiala functiilor reale de n variabile 60
- 5.2.2 Derivate partiale si diferentiala functiilor vectoriale de n variabile 64
- 5.2.3 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior 65
- 5.2.4 Derivatele partiale si diferentialele functiilor compuse 67
- 5.2.5 Proprietati ale functiilor diferentiabile 71
- 6 FUNCT II DEFINITE IMPLICIT 75
- 6.1 Functii denite implicit de o ecuatie 75
- 6.1.1 Functii reale de o variabila reala 75
- 6.1.2 Functii reale de n variabile 77
- 6.2 Functii denite implicit de un sistem de ecuatii 78
- 6.3 Transformari punctuale. Derivarea functiilor inverse 79
- 6.4 Dependenta si independenta functionala 81
- 6.5 Schimbari de variabile 82
- 6.5.1 Schimbarea variabilelor independente 82
- 6.5.2 Schimbari de variabile independente si functii 84
- 7 EXTREME PENTRU FUNCT II DE MAI MULTE VARIABILE 87
- 7.1 Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile 87
- 7.2 Extreme pentru functii denite implicit 90
- 7.3 Extreme conditionate 90
- 8 SIRURI SI SERII DE FUNCT II 95
- 8.1 Siruri de functii reale 95
- 8.1.1 Siruri de functii. Multimea de convergenta 95
- 8.1.2 Functia limita a unui sir de functii 95
- 8.1.3 Convergenta simpla 96
- 8.1.4 Convergenta uniforma 96
- 8.1.5 Proprietati ale sirurilor uniform convergente 97
- 8.2 Serii de functii 99
- 8.2.1 Serii de functii. Multimea de convergenta 99
- 8.2.2 Convergenta simpla a unei serii de functii 99
- 8.2.3 Convergenta uniforma a unei serii de functii 100
- CUPRINS 5
- 8.2.4 Proprietati ale seriilor uniform convergente 101
- 8.3 Serii de puteri 102
- 8.4 Serii Taylor 104
Extras din curs
Capitolul 1
ELEMENTE DE TEORIA
SPAT IILOR METRICE
1.1 Introducere
1.1.1 Elemente de teoria teoria multimilor
Notiunea de multime este o notiune primara. O multime X este precizata fie prin indicarea
elementelor sale, X = fx1; x2; : : : ; xng, fie prin indicarea unei proprietati P ce
caracterizeaza elementele multimii, X = fx j x are proprietatea Pg.
Daca x este element al multimii X scriem x 2 X, daca x nu este element al multimii
X scriem x =2 X.
Multimile X si Y sunt egale daca sunt formate din aceleasi elemente. Deci
X = Y pentru x 2 X () x 2 Y:
A este submultime sau parte a multimii X si se noteaza A X sau X A, daca
x 2 A =) x 2 X.
Evident ca X = Y d.d. X Y si Y X.
Multimea care nu contine nici un element se numeste multimea vida, se noteaza cu ; si este submultime a oricarei multimi X.
Multimea partilor unei multimi X se noteaza P(X).
Fie A si B doua multimi oarecare. Multimea A [ B = fx j x 2 A sau x 2 Bg se
numeste reuniunea multimilor A si B, iar multimea A B = fx j x 2 A si x 2 Bg se
numeste intersectia multimilor A si B.
Multimile A si B se numesc disjuncte daca A B = ;. Multimea A n B = fx j x 2 A si x =2 Bg se numeste diferenta multimilor A si B, in aceasta ordine. Daca B A,
diferenta A n B se noteaza CAB si se numeste complementara multimii B relativa la
multimea A.
Prin produs cartezian al multinilor A1;A2; : : : ;An, in aceasta ordine, intelegem mult
imea sistemelor ordonate de n elemente (n-uple) (a1; a2; : : : ; an) cu ai 2 Ai, i = 1; n,
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT IILOR METRICE
adica
A1 A2 An = f(a1; a2; : : : ; an); ai 2 Ai; i = 1; ng:
Elementele (a1; a2; : : : ; an) si (b1; b2; : : : ; bn) sunt egale daca ai = bi, i = 1; n.
Daca Ai = A, i = 1; n, se foloseste notatia A A A = An.
1.1.2 Notiunea de aplicatie
Fie X si Y doua multimi nevide. Se numeste aplicatie f a multimii X in multimea Y
o corespondenta prin care fiecarui element x 2 X i se asociaza in mod unic un element
y 2 Y .
Orice aplicatie f : X ! Y trebuie conceputa ca ansamblul format din trei elemente:
multimea X numita multimea de definitie, multimea Y numita multimea in care f ia
valori si legea de corespondenta f.
Daca y 2 Y corespunde elementului x 2 X, atunci notam y = f(x) sau x 7! f(x).
^In acest caz y se numeste imaginea lui x prin f sau valoarea aplicatiei f in x, iar x se
numeste contraimaginea sau imaginea inversa a lui y prin f.
Pentru notiunea de aplicatie se mai utilizeaza denumirile de functie, transformare,
operator, sau functionala.
Multimea aplicatiilor definite pe X cu valori in Y se noteaza cu F(X; Y ).
Aplicatiile f1; f2 2 F(X; Y ) se numesc egale, f1 = f2, daca f1(x) = f2(x), 8x 2 X.
Fie aplicatia f : X ! Y si A X, B Y . Multimea
f(A) = fy = f(x) j x 2 Ag = fy 2 Y j 9 x 2 A; y = f(x)g Y
se numeste imaginea multimii A prin f, iar multimea
f
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza Matematica si Ecuatii Diferentiale.pdf