Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate

&1.Evenimente. Categorii de evenimente

Lucrurile, fiintele sau fenomenele care printr-o proprietate comuna pot fi considerate împreuna constituie o multime, o colectivitate, o populatie. Fiintele sau fenomenele care constituie o colectivitate sunt numite elementele colectivitatii.

Fie data o colectivitate (populatie) E, cu elementul generic e. Elementele colectivitatii E poseda sa nu poseda anumite proprietati rezultate din studiul ei. Proprietatea considerata constituie criteriul de cercetare a multimii respective. Realizarea practica a complexului de conditii corespunzatoare criteriului de cercetare este numita experienta. Aplicarea experientei asupra unui element al populatiei este numita proba. Rezultatul unui experiment (realizarea unui anumit criteriu în urma unei probe) este numit eveniment (în teoria probabilitatilor, notiunea de eveniment este o notiune primara). Este evident, ca un eveniment poate sau nu poate avea loc.

Fie o anumita experienta care ne poate da un anumit rezultat Ai dintr-o multime finita de rezultate posibile {A1,A2,...,An} = {Ai} ,i=1,2,...,n;evenimentul Ai care poate fi realizat de o proba si numai de una, se numeste eveniment elementar. Restul evenimentelor se numesc evenimente compuse.

Vorbind de o colectivitate E, totdeuna suntem pusi în fata criteriului de cercetare care a permis constituirea colectivitatii respective, numit criteriul fundamental, care determina relatia de apartenenta e Î E. Corespunzator acestui criteriu fundamental se ataseaza evenimentul sigur, E, deoarece în experienta respectiva (constituirea colectivitatii), proba realizeaza totdeuna criteriul de apartenenta.

Fie dat evenimentul sigur E corespunzator multimii E, ale carei elemente sunt supuse unor criterii de cercetare care duc la considerarea unor evenimenete . Sa notam cu X un anumit eveniment si cu X multimea elementelor e din E care satisfac acestui eveniment. În acest mod este realizata urmatoarea dubla corespondenta biunivoca (între elemente si multimi corespunzatoare): E « E , X « X.

Deoarece între multimile E si X exista relatia de incluziune, X Ì E, definim o relatie analoaga pentru evenimentele X si E, numita relatia de implicatie, pe care o scriem: X Ì E, citind, "evenimentul X este implicat în evenimentul sigur E".

Aceasta relatie de implicatie, poate prezenta urmatoarele situatii:

1) X=E sau X=I, când toate elementele e din E satisfac criteriul care determina evenimentul X; în acest caz X=E, adica în orice proba are loc evenimentul X. Numim acest eveniment X eveniment cert (sigur);

2) X Ì E, când unele elemente e din E satisfac criteriul care determina evenimentul X, altele nu; în aces caz, notam XÌE, ceea înseamna ca în unele probe are loc evenimentul X, în altele nu.Numim în acest caz evenimentul X eveniment întâmplator sau eveniment aleator sau înca eveniment stocastic.

3) X=F, când nici un element e din E nu satisface criteriul care determina evenimentulX; în acest caz, vom nota X=F, ceea ce înseamna ca în nici o proba nu are loc evenimentul X. Numim acest eveniment X eveniment imposibil.

Fie evenimentul sigur E, si evenimentul A. Numim eveniment contrar al evenimentului A, evenimentul notat A (sau AC,sau înca CA), care consta în nerealizarea evenimentului considerat A (A este evenimentul care se produce ori de câte ori nu se produce A).

În particular, E = F, F = E.

Dat fiind corespondenta biunivoca dintre multime si eveniment, în continuare nu vom face distinctie în notatie, între multime si eveniment.

Problema compararii evenimentelor X,Y între ele are sens atâta timp cât X Ì E si Y Ì E.Distingem:

1) Evenimentul X implica evenimentul Y, (XÌY) sau evenimentul Y este implicat de evenimentul X, daca evenimentul Y se realizeaza de fiecare data când se realizeaza evenimentul X (multimile corespunzatoare sunt în aceeiasi relatie de incluziune). În particular: F Ì X Ì E.

2) Doua evenimente se numesc echivalente (evenimente echialeatoare), (X = Y),daca evenimentul X implica evenimentul Y si în acelasi timp evenimentul Y implica evenimentul X (multimile corespunzatoare sunt egale).

Proprietati ale relatiei de implicatie între evenimente:

a) AÌB si BÌC Þ AÌC, tranzitivitatea relatiei Ì;

b) AÌB si BÌA Û A=B, antisimetria relatiei Ì;

c) aÌA, reflexivitatea relatiei Ì;

d) Nu pentru orice A,B avem: AÌB sau BÌ A.

Fiind date mai multe evenimente, realizarea lor ne conduce a le privi sub diverse aspecte: realizarea sau nerealizarea lor împreuna, realizarea unora este conditionata sau nu de realizarea celorlalte evenimente. În functie de aceste consideratii, distingem urmatoarele categorii de evenimente:

1) Doua sau mai multe evenimente se numesc incompatibile daca producerea unuia dintre ele, exclude posibilitatea producerii celorlalte în aceeasi proba; în caz contrar, când se pot realiza simultan sunt numite evenimente compatibile.

2) Doua evenimente se numesc independente, daca realizarea unuia nu influenteaza realizarea celuilalt; în caz contrar, când realizarea unui eveniment influenteaza realizarea altui eveniment, ele sunt numite evenimente dependente.

3) Daca A si B sunt doua evenimente dependente si daca realizarea evenimentului B este conditionata de realizarea evenimentului A, atunci vom nota B/A întelegând ca "evenimentul B are loc numai daca are loc evenimentul A" si vom citi "B conditionat de A".

Observatie.

Problema compatibilitatii sau a incompatibilitatii a doua evenimente A si B este pusa, presupunând îndeplinita relatia de implicatie a acestor evenimente fata de un acelasi eveniment sigur E.

Problema dependentei evenimentelor A si B necesita implicatia lor fata de un acelasi eveniment eveniment sigur,pe când problema independentei nu necesita implicatia fata de un acelasi eveniment sigur.

&2. Operatii cu evenimente

Pornind de la analogia dintre multime si eveniment, operatiile între multimi permit definirea unor operatii analoage între evenimente.

1) Fie A si B doua evenimente. Notam S = A È B si vom numi evenimentul S suma sau reuniunea lor, evenimentul care se produce daca se produce evenimentul A, sau evenimentul B, sau se produc ambele evenimente A si B (evenimentul AÈB se mai citeste "A sau B" ).

În cazul unui sistem de n evenimente: Ai,i=1,2,...,n atunci vom nota reuniunea lor prin

A1 È A2 È ... È An = ,

si este evenimentul care se realizeaza atunci când se realizeaza cel putin unul din ele.

Observatie. Daca {A1,A2,...,An} sunt toate rezultatele posibile ale unei experiente, atunci:

E = A1 È A2 È ... È An .

2) Fiind date doua evenimente A si B, vom numi produsul sau intersectia lor, evenimentul notat AÇB, care se produce daca se produce atât evenimentul A cât si evenimentul B (evenimentul AÇB se mai citeste "A si B" ).

În cazul unui sistem de n evenimente: Ai ,i=1,...,n intersectia lor se scrie :