Geometrie afină

Chapter 1

Spat¸ii vectoriale

1.1 Spat¸ii vectoriale peste un corp K

Fie K un corp comutativ (poate fi corpul numerelor complexe C, cel al numerelor reale

R, cel al numerelor rat¸ionale Q sau al claselor de resturi modulo p, Z/p (p prim), etc).

Fie (V, +) un grup pe care definim o operat¸ie extern˘a

K × V ! V

(, v) ! · v

care satisface axiomele:

V1. () · v = · ( · v)

V2. ( + ) · v = · v + · v

V3. · (v + w) = · v + · w

V4. 1 · v = v,

pentru orice , 2 K ¸si orice v,w 2 V . (V,+, ·) se nume¸ste K-spat¸iu vectorial (sau spat¸iu

vectorial peste corpul K).

Observat¸ie. ˆIntr-un spat¸iu vectorial (V,+, ·), adunarea este comutativ˘a.

(1 + 1) · (a + b) = (1 + 1) · a + (1 + 1) · b = a + a + b + b

iar

(1 + 1) · (a + b) = 1 · (a + b) + 1 · (a + b) = a + b + a + b,

deci a + b = b + a. 

Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Operat¸ia

intern˘a + este adunarea vectorilor, iar operat¸ia extern˘a · este ˆınmult¸irea vectorilor cu

scalari.

Cˆand K = C, respectiv K = R, spat¸iul V se nume¸ste spat¸iu vectorial complex, respectiv

spat¸iu vectorial real.

Propozit¸ie. ˆIntr-un K-spat¸iu vectorial V , au loc:

• 0K · v = 0V , 8v 2 V , unde 0K este elementul neutru al grupului aditiv (K, +), iar 0V

este elementul neutru al grupului (V, +), numit vectorul nul al spat¸iului vectorial

V .

• · 0v = 0v, 8 2 K

• · v = 0v dac˘a ¸si numai dac˘a = 0K sau v = 0V

• (−1) · v = −v, 8v 2 V , unde −v este opusul vectorului v 2 V ˆın grupul (V, +).

1.2 Exemple de spat¸ii vectoriale

1. Spat¸iul vectorilor legat¸i ¸si spat¸iul vectorilor liberi

sunt spat¸ii vectoriale reale.

2. Spat¸iile vectoriale standard Kn, n 2 N

Pe produsul cartezian Kn = {x = (x1, x2, . . . , xn), xi 2 K, i = 1, n} se poate defini o

structur˘a de K-spat¸iu vectorial, numit˘a structura canonic˘a a lui Kn. Operat¸ia extern˘a

este dat˘a de

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn), 8x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) 2 Kn,

iar cea extern˘a de

x = (x1, x2, . . . , xn), 8 2 Kn, 8x = (x1, x2, . . . , xn) 2 Kn.

3. Spat¸iul Mm,n(K) al matricelor dreptunghiulare cu elemente din K

este un K-spat¸iu vectorial. Dac˘a A = (ai,j) ¸si B = (bi,j) sunt dou˘a matrici din Mm,n(K),

iar 2 K, atunci operat¸iile care dau structura de spat¸iu vectorial sunt

A + B = (ai,j + bi,j) 2 Mm,n(K)

¸si

A = (ai,j) 2 Mm,n(K).

Dac˘a m = n, se obt¸ine K-spat¸iul vectorial al matricelor p˘atratice de ordinul n. Dac˘a

m = 1, se obt¸ine K-spat¸iul vectorial al matricelor linie, iar dac˘a n = 1, se obt¸ine K-spat¸iul

vectorial al matricelor coloan˘a. Aceste ultime dou˘a spat¸ii se identific˘a cu Kn.

4. Spat¸iul funct¸iilor V A = {f : A ! V }

unde V este un K-spat¸iu vectorial, este, la rˆandul lui, un K-spat¸iu vectorial. Operat¸ia de

adunare a funct¸iilor este dat˘a de

f + g : A ! V, (f + g)(x) = f(x) + g(x),

iar operat¸ia extern˘a pe V A peste K

K × V A ! V A

(, f) ! f, (f)(x) = f(x).

Spat¸iile Kn ¸si Mm,n(K) sunt, de fapt, spat¸ii de tipul V A, unde V = K ¸si A =

{1, 2, . . . , n}, respectiv A = {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n}.