Integrala Riemann

8.1. Integrala Riemann

Optam pentru prezentarea traditionala a integralei Riemann, deoarece a fost studiata in aceasta

maniera si in liceu si este familiara cititorului

Daca a, b Î R, a < b, atunci D [a, b] reprezinta multimea tuturor diviziunilor intervalului [a, b]. Norma

diviziunii D Î D [a, b] este numarul: D = 1 1

max{ } i n i i

diviziune este echidistanta daca xi - xi-1 =

1 £ i £ n, caz in care avem xi = a + i × b a

Fie a, b ÎR , a < b si D Î D [a, b], D : a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b.

Multinea: xD = { i x ; 1 £ i £ n, i x Î [xi-1, xi]}, este multimea punctelor intermediare asociate diviziunii

D . Pentru functia f : [a, b] ® R, construim suma: ( , ) f s xD D = 1

numita suma

Riemann. Functia f este integrabila Riemann pe [a, b] daca exista un numar real I, cu proprietatea ca

"e>0 exista h > 0 , astfel incat " D Î D [a, b], cu D < h, sa avem f( , ) I s x e D D- < , pentru orice

alegere a punctelor intermediare D x . Numarul I se numeste integrala Riemann a lui f pe [a, b], este

unic determinat si se noteaza I = ( )

f x dx . Merita retinut faptul ca o functie f: [a, b] ®R, integrabila

Riemann pe [a, b] este marginita pe [a, b].

Daca f: [a, b] ® R este marginita pe [a, b], vom defini sumele Darboux, dupa cum urmeaza. Fie

D Î D [a, b] si anume D : a = x0 < x1 < x2 <…< xn = b.Notand mi =

construi: ( ) f s D = 1

, sume numite sumele Darboux

inferioara respectiv superioara. Notand cu I = sup{ ( ) f s D ; D Î D [a, b]} si cu J = inf{ ( ) f S D ,

D Î D [a, b]}, se demonstreaza ca f este integrabila Riemann pe [a, b] daca si numai daca I = J.

Criteriul lui Darboux este util pentru determinarea claselor de functii integrabile Riemann.

Teorema 8.1.1. (criteriul lui Darboux) O functie f: [a, b] ® R, marginita pe [a, b], este integrabila

Riemann pe [a, b] daca si numai daca "e>0 exista h > 0 , astfel incat " D Î D [a, b], cu D < h, sa

avem ( ) f S D - ( ) f s D < e.

Propozitia 8.1.1. O functie f: [a, b] ® R, continua, este integrabila Riemann pe [a, b].

Prezentam in continuare, un criteriu de integrabilitate deosebit de important prin aplicatiile sale.

O multime A Ì R se numeste neglijabila sau de masura Lebesgue nula daca "e > 0 exista un sir de

intervale din R, notate (Jn)n, cu proprietatile: n

(am notat lungimea

intervalului Jn cu l (Jn). Putem lua intervalele Jn deschise, inchise sau semi-deschise

exemplu: Multimea numerelor naturale N este de masura Lebesgue nula. Fie e > 0 si

Din definitia multimii neglijabile se deduc imediat urmatoarele proprietati:

1) O submultime a unei multimi neglijabile este neglijabila.

2) O multime numarabila este neglijabila.

Teorema 8.1.2. (criteriul lui Lebesgue) O functie f: [a, b] ® R este integrabila Riemann pe [a, b] daca

si numai daca f este marginita si multimea punctelor ei de discontinuitate este de masura Lebesgue

nula.

Din acest criteriu rezulta imediat integrabilitatea functiilor continue, a celor monotone si a celor

marginite cu multimea punctelor de discontinuitate finita. Prezentam, in continuare, cateva proprietati

ale integralei Riemann. Pentru a, b Î R cu a < b, definim ( )

Propozitia 8.1.2. Fie f, g: [a, b] ® R, functii integrabile Riemann pe [a, b]. Atunci f + g este

integrabila pe [a, b]. Daca aÎ R, functia af este integrabila pe [a, b] si:

Propozitia 8.1.3. Daca functia f: [a, b] ® R+ este integrabila Riemann pe [a, b], atunci ( )

f x dx ³ 0.

Din aceasta proprietate rezulta monotonia integralei Riemann, in sensul ca daca f, g: [a, b] ® R sunt

functii integrabile Riemann pe [a, b], cu proprietatea caf(x) £ g(x), " x Î[a, b], atunci:

Propozitia 8.1.3. Daca f: [a, b] ® R este o functie integrabila Riemann pe [a, b] si [c, d] Ì [a, b],

atunci f este integrabila Riemann pe [c, d] (ereditate).

Propozitia 8.1.4. Daca functia f: [a, b] ® R este integrabila Riemann pe [a, b], atunci oricare ar fi