Matematici Aplicate în Economie

INTRODUCERE

Materialul de fata reprezinta o sinteza a cursului care se preda la disciplina „Matematici aplicate în economie ” în primul an de studiu.

SCOP SI OBIECTIVE

Are ca obiect bazele matematicilor superioare clasice (elemente de algebra liniara si de programare liniara, analiza matematica, teoria probabilitatilor si statistica matematica) cât si bazele matematicilor financiare si actuariale (elemente de gestiunea optima a stocurilor, teoria asteptarii, teoria grafurilor, matematici financiare si actuariale)

Totodata, prin structura si continutul cursului, s-a urmarit ca studentii sa dobândeasca baza matematica de întelegere si instrumentele operationale (teorii operationale si algoritmi) pentru celelalte discipline: economie, informatica, managementul firmei, statistica micro si macroeconomica, macroeconomie, finante si contabilitate etc., discipline care sunt puternic matematizate. De asemenea studentul trebuie sa capete deprinderea de a modela fenomenele economice cu caracter determinist sau aleator în scopul fundamentarii rapide a deciziilor optime.

Materialul teoretic expus este ilustrat cu exemple acolo unde întelegerea notiunii necesita acest lucru.

Având în vedere necesitatea apropierii structurilor teoretice matematice de terminologia economica si totodata de necesitatea implementarii teoriei în cursurile specifice modulului economic, au fost inserate probleme concrete din sfera economico- financiara si precum si studii de caz la aspectele care se preteaza.

CERINTE SI PRECIZARI

Materialul expus în acest curs sinteza nu acopera în detaliu întregul continut, dar expunerea detaliata a temelor pe capitole face posibila completarea sa pe baza recomandarilor bibliografice.

Evaluarea cursantilor se face in doua examene si are drept scop verificarea însusirii notiunilor teoretice dar si a deprinderilor practice de lucru cu ele, prin aplicatii axate în general pe algoritmi si modele matematice cu continut economic.

TEMATICA CURSULUI

Matematici aplicate in economie

CAP.I Elemente de algebra superioara cu aplicatii în economie

- Spatii vectoriale ; organizarea spatiilor economice ca spatii vectoriale

Definitie, exemple.

Dependenta si liniar independenta sistemelor de vectori. Baza si dimensiunea spatiului.

Izomorfism de spatii liniare;- Subspatii liniare

Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei; Metode iterative de calcul: Gauss Jordan. Sisteme de ecuatii liniare

Aplicatii la studiul spatiilor vectoriale: baza, schimbarea bazei.

Aplicatii la metode numerice de calcul: metoda eliminarii complete Gauss Jordan. Sisteme de ecuatii liniare (aplicatii pregatitoare pentru algoritmul Simplex)

- Operatori liniari; continut economic

Nucleul si imaginea unui operator liniar.

Operatii cu operatori liniari, matricea atasata unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.

Vectori si valori proprii; diagonalizarea unui operator.

Aplicatii la reprezentarea matriciala a operatorilor. Exemple de activitati ale agentilor economici descrise prin operatori.

- Functionale liniare

Functionale liniare, biliniare, forme patratice, expresia canonica.

Aducerea la forma canonica; procedee(metoda Jacobi, Gauss, vectorilor si valorilor proprii).

Aplicatii la vectori si valori proprii; diagonalizarea unui operator.

Teoreme Perron – Frobenius – importanta în analiza economica.

- Organizarea ca spatii euclidiene, normate, metrice – suport matematic de analiza structurala pentru sisteme economice

Produs scalar, norma, distanta

Ortogonalizare, procedeul Gram - Schmidt

Exemple de modificare de structura a activitatilor economice

Aplicatii la procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt

CAP.II Elemente de teoria grafurilor pentru fundamentarea deciziei

- Grafuri: concepte, definitii; matricea arcelor si matricea drumurilor; puterea de atingere a unui varf,teorema Chen, algoritmul de determinare a drumurilor hamiltoniene în grafuri fara circuite. Algoritmul Kaufmann (produse latine).

- Drumuri minime sau maxime intr-un graf: algoritmul Bellman - Kalaba, algoritmul Ford; algoritmul Dantzig.

- Retele de transport: flux maxim intr-o retea; algoritmul Ford-Fulkerson. Aplicatii in fundamentarea deciziei. Problema afectarii optime: algoritmul Gomory. Arbori si arborescente Kruskal. Analiza drumului critic.

Aplicatii la teoria grafurilor: algoritmi.

CAP.III Fundamentarea optima a deciziilor prin programare liniara

- Problema de programare liniara (ppl); formularea problemei; modelul matematic

Forme fundamentale ale PPL, solutii, clasificare; interpretarea economica a PPL.

Modele ale PPL pentru probleme de natura economica, exemple.

Determinarea solutiilor de baza nenegative ale unui sistem de ecuatii liniare si determinarea unui criteriu de iesire din baza.

- Algoritmul Simplex primal

Teoreme (criteriul de optim, criteriul de intrare în baza, criteriul de optim infinit, criteriul de iesire din baza),

Enuntarea algoritmului.

Determinarea unei baze primal admisibile. Metoda variabilelor artificiale.

Degenerare si ciclare; algoritmul Simplex revizuit. Reoptimizari si parametrizari.

Aplicatii la rezolvarea PPL prin algoritmul simplex primal.

- Dualitate in P.P.L.

Algoritmul Simplex dual (pentru o baza dual admisibila).

Determinarea unei baze dual admisibile.

Teoreme de dualitate si continutul economic al variabilelor duale (preturi umbra)

Aplicatii la rezolvarea PPL prin algoritmul Simplex dual; reoptimizari si parametrizari.

Studii de caz în managementul financiar contabil.

- Problema de transport; decizii optime in transport

Formularea problemei de transport si a modelului sau matematic.

Algoritmul general pentru problema duala problemei de transport, solutii de baza initiale, criterii de optimizare.

Metode pentru determinarea unei slutii primal admisibile (coltului NV, elementului minim din matricea costurilor unitare).

Aplicatii la problema transporturilor.