Matematici elementare - calcul diferențial și integral

Capitolul 1

Numere reale. Func¸tii reale

1.1 Numere reale

Mul¸timea numerelor reale R formeaz˘a în raport cu opera¸tiile de adunare ¸si îmul¸tire o

structur˘a algebric˘a de corp comutativ.

O submul¸time A ⊂ R se nume¸ste majorat˘a sau m˘arginit˘a superior dac˘a exist˘a un

num˘ar real b astfel încât x ≤ b pentru orice x ∈ A. În acest caz b se nume¸ste majorant

al mul¸timii A. Dac˘a b ∈ A, spunem c˘a A are un cel mai mare element. El se noteaz˘a

maxA.

Axioma lui Cantor. Orice submul¸time nevid˘a majorat˘a A ⊂ R admite un cel mai

mic majorant.

Cel mai mic majorant al mul¸tmii A se nume¸ste margimea superioar˘a a lui A ¸si se

noteaz˘a supA.

În mod asem˘an˘ator se definesc cel mai mic element, notat minA¸si marginea inferioar˘a

a lui A, notat˘a inf A.

Defini¸tie. Spunem c˘a mul¸timea A este m˘arginit˘a dac˘a este m˘arginit˘a superior ¸si

inferior.

Axioma lui Arhimede. Pentru orice num˘ar real x ∈ R exist˘a un num˘ar întreg k

a.î. k ≤ x < k + 1.

Acest num˘ar este numit partea întreag˘a a lui x ¸si se noteaz˘a [x].

Mul¸timea numerelor reale R poate fi reprezentat˘a biunivoc pe o dreapt˘a, numit˘a

dreapta real˘a. Din acest motiv numerele reale se mai numesc puncte.

Submul¸timea (a, b) = {x ∈ R, a < x < b} se nume¸ste interval deschis, iar submul¸timea

[a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} se nume¸ste interval închis ¸si m˘arginit.

Se nume¸ste vecin˘atate a unui punct x0 ∈ R orice interval deschis (a, b) care con¸tine

punctul x0.

Mul¸timea format˘a din toate numerele reale împreun˘a cu +∞ ¸si −∞ se nume¸ste

dreapta încheiat˘a ¸si se noteaz˘a cu R. Semidreptele de forma (a,+∞) se numesc vecin˘at˘a¸ti

ale lui +∞, iar semidreptele de forme (−∞, a) se numesc vecin˘at˘a¸ti ale lui −∞.

Pentru orice a, b ∈ R, not˘am prin max (a, b) cel mai mare dintre numerele a, b. Pentru

6 CAPITOLUL 1. NUMERE REALE. FUNC ¸ TII REALE

orice x ∈ R, modulul lui x se define¸ste prin

Modulul are urm˘atoarele propriet˘a¸tile: 1. |x| ≥ 0 ¸si |x| = 0 d.d. x = 0, 2. |x + y| ≤

|x| + |y|, 3. |xy| = |x| |y|, 4. Pentru ε > 0, |x| < ε d.d. −ε < x < ε.

1.2 Probleme

1.1 Fie a ∈ R, a

= 0. S˘a se rezolve în R ecua¸tiile: x2 = a2, x3 = a3, x4 = a4.

Solu¸tie. Se ob¸tine: x = ±a, x = a, x = ±a.

1.2 S˘a se rezolve în R ecua¸tiile:

a) |x| + |x + 1| = 1, b) |x − 1| + |x + 1| = 2.

Solu¸tie. a). x ∈ [−1, 0], b) x ∈ [−1, 1].

1.3 Dac˘a x, y ∈ R ¸si |x − 1| ≤ 4, |y − 2| ≤ 5, s˘a se arate c˘a −6 ≤ x + y ≤ 12.

Solu¸tie. Avem: −3 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 7. Deci −6 ≤ x + y ≤ 12.

1.4 S˘a se rezolve în R inecua¸tiile: a) |x|+|x − 1| > 0, b) |x|+|x − 3| < 0, c) |x − 1| ≤ 1,

d) |x| + |x − 2| ≤ 2x, e) |x + 1| > 2, f) |x + 1| > −1, g) |x − 1| + |x2 − 3x + 2| > 0.

Solu¸tie. Avem: a) x ∈ R, b) ∅, c) x ∈ [0, 2], d) x ∈ [1,∞), e) x ∈ (−∞,−3) ∪ (1,∞),

f) x ∈ R, g) Inecua¸tia se mai scrie: |x − 1| (1 + |x + 2|) > 0. Deci |x − 1| > 0, adic˘a

x ∈ R {1}.

1.5 Fie x1, x2, y1, y2 ∈ R a.î. x1 ≤ y1, x2 ≤ y2 ¸si x1 + x2 = y1 + y2. S˘a se arate c˘a

x1 = y1, x2 = y2. Generalizare.

Solu¸tie. Avem c˘a (y1 − x1) + (y2 − x2) = 0 ¸si y1 − x1 ≥ 0, y2 − x2 ≥ 0. Dar o

sum˘a de numere nenegative este nul˘a numai dac˘a fiecare termen este nul, ceea ce implic˘a

y1 − x1 = 0, y2 − x2 = 0.

Generalizare: Fie xi, yi ∈ R a.î. xi ≤ yi, i = 1, n ¸si

1.6 Pentru orice x, y ∈ R, definim media aritmetic˘a ma = x+y

2 , media geometric˘a

mg = √xy, media armonic˘a mα = 2xy

x+y . S˘a se arate c˘a: mα ≤ mg ≤ ma.

Solu¸tie. Ambele inegalit˘a¸ti sunt echivalente cu inegalitatea