Extras din curs
FUNCT¸ II COMPLEXE
1.1 Mult¸imea numerelor complexe
Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea
numerelor reale R astfel ca orice ecuat¸ie de gradul al doilea sØa aibØa solut¸ii
ˆin noua mult¸ime. Ca mult¸ime, C nu diferØa de R2, adicØa C este mult¸imea
perechilor ordonate de numere reale
C = f(x; y)j x 2 R; y 2 Rg (1.1)
Pe mult¸imea se C definesc douØa operat¸ii algebrice interne, adunarea ¸si
ˆinmult¸irea,
z + z0 = (x + x0; y + y0); (1.2)
z ¢ z0 = (xx0 ¡ yy0; xy0 + x0y):
astfel ca (C;+; ¢) sØa fie corp, iar (R;+; ¢) sØa poatØa fi asimilat cu un subcorp
al lui C.
Elementele neutre ale corpului C sunt
0 = (0; 0); 1 = (1; 0): (1.3)
Avem
NumØarul complex (0; 1) a fost notat de Euler prin i, numit unitatea complex
2 CAPITOLUL 1. FUNCT¸ II COMPLEXE
NumØarului complex z i se asociazØa ˆin planul xOy (mult¸imea R2) punctul
M de coordonate carteziene (x; y) numit imaginea geometricØa a lui z. Reciproc
fiecØarui punct M(x; y) i se asociazØa un numØar complex z numit afixul
lui M. Axa Ox se nume¸ste axa realØa, axa Oy se mai nume¸ste axa imaginar
Øa, iar planul xOy se mai nume¸ste planul complex sau planul lui Gauss al
variabilei z.
Pentru orice z = (x; y) 2 C avem z = (x; 0)+(0; y) = (x; 0)+(0; 1) ¢(y; 0)
de unde, prin identificarea x ´ (x; 0) ¸si y ´ (0; y), se obt¸ine scrierea uzualØa
a numerelor complexe z = x + iy.
Pentru orice z = x + iy 2 C se define¸ste conjugatul z = x ¡ iy, partea
realØa Re z = x ¸si partea imaginarØa Im z = y. Avem
Pentru orice z 2 C se define¸ste modulul sØau jzj = px2 + y2 = pz ¢ z .
Au loc urmØatoØarele proprietØat¸i:
² z = 0 dacØa ¸si numai dacØa jzj = 0;
² jz1 + z2j · jz1j + jz2j ; 8z1; z2 2 C (inegalitatea triunghiului);
² jz1 ¢ z2j = jz1j ¢ jz2j ; 8z1; z2 2 C;
² jRe zj · jzj, jIm zj · jzj.
Funct¸ia C £ C ! C, (z; z0) 7¡! hz; z0i = z ¢ z0 este un produs scalar pe C
¸si norma definitØa cu ajutorul acestui produs scalar este modulul
kzk = phz; z0i = pz ¢ z0 = jzj :
ˆIn identificarea C cu R2 modulul ˆin C corespunde normei euclidiene din
R2: Cu ajutorul acestui produs scalar putem defini o distant¸Øa pe C prin
d (z; z0) = jz ¡ z0j ; 8z; z0 2 C:
Astfel C devine spat¸iu metric complet.
Pentru orice z 2 Cn f0g, unicul numØar real ' 2 (¡¼; ¼] (sau ' 2 [0; 2¼)
ˆin unele cazuri) astfel ˆincˆat
Preview document
Conținut arhivă zip
- Matematici Speciale
- L1_ma2.pdf
- L2_ma2.pdf
- L3_ma2.pdf
- MA_11.pdf
- MA_12.pdf
- MA_1_2.pdf
- MA_3.pdf
- MA_4.pdf
- MA_5.pdf
- MA_6.pdf
- MA_8.pdf
- MA_9.pdf
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Studiul numerelor prime face parte din teoria numerelor, ramura matematicii care include studiul numerelor naturale. Numerele prime...
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
Definitie: Fie o multime ale carei elemente le vom nota prin litere latine mici si le vom numi vectori. Fie de asemenea un corp ale carui...
1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...
CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
Te-ar putea interesa și
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
Subiectu 1 Mărime scalară Definiţie: O mărime reprezentată printr-un număr după ce s-a fixat o unitate de măsură se numeşte mărime scalară....
Laboratorul 1 1. Sum: aceasta functie calculeaza suma elementelor unei matrici. Pentru a defini o matrice, tastaţi la linia de comanda in Command...
1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...
Capitolul I FUNCŢII COMPLEXE 1. Să se determine funcţia olomorfă f(z) ştiind că partea reală a sa u(x,y)=ln(x2+y2) şi f(1)=0. Soluţie:...
CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema...
1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară 0 0 cos − = 1 , y( ) = x y' y tgx Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este:...