Serii în spații Banach

4.1. Serii

Spatiile Banach constituie cadrul natural pentru definirea si studiul conceptului de serie.

Fie (xn)n un sir in spatiul Banach E si sa consideram sirul sumelor partiale asociat sirului initial:

nÎN. Perechea formata din sirurile (xn)n si (sn)n se numeste serie cu termenul

general xn si se noteaza

se numeste convergenta daca sirul sumelor partiale este

convergent in E. O serie care nu este convergenta se numeste divergenta.

exemplu:

Fie r Î R fixat. Atunci seria 2

= + + + + + , se numeste seria geometrica de ratie r.

Sirul sumelor partiale va fi 0 s = 1, 1 s=1+r, ...,

daca r <1, caz

in care seria geometrica este convergenta.

In cazul in care seria

este convergenta, se defineste suma seriei ca fiind s = lim n n

(in E), notatia

folosita fiind: s =

Tinand seama de structura de spatiu liniar al lui E, suma, termen cu termen, a doua serii de aceeasi

natura (convergente sau nu) este o serie de aceeasi natura. Inmultind cu un scalar oarecare o serie, nu

este afectata natura seriei. Eliminand sau adaugand un numar finit de termeni unei serii, nu se modifica

natura seriei (evident pentru seriile convergente suma se modifica).

Situandu-ne intr-un spatiu Banach, sirul sumelor partiale este convergent daca si numai daca este

Cauchy, adica: "e > 0 exista n0 Î N, astfel incat "m, n ³ n0 avem m n s -s < e .

Tinand seama ca sm - sn este o suma de termeni consecutivi ai seriei, deducem criteriul lui Cauchy,

pentru serii:

intr-un spatiu Banach E este convergenta daca si numai daca:

" e > 0 exista n0 Î N, astfel incat " n > m > n0 avem

exemplu:

Seria armonica

este divergenta , deoarece evaluand:

obtinem pentru e =

si pentru m Î N arbitrar, existenta unui n > 2m – 1, astfel incat

Daca, in particular, m + 1 = n, atunci:"e > 0 exista n0 Î N, astfel incat " n >n0 n x < e .

Asadar, daca

este convergenta, atunci ninE E

x ®q , conditie ce nu este suficienta pentru a asigura

convergenta unei serii.

din spatiul Banach E se numeste absolut convergenta daca seria de numere reale

nenegative

este convergenta. Intr-un spatiu Banach, orice serie absolut convergenta este

convergenta, afirmatia bazandu-se pe criteriul lui Cauchy si pe folosirea inegalitatii:

1 1 ... ... m n m n x+ x x+ x + + < + + .

In continuare, ne vom ocupa de serii cu termeni pozitivi, observand ca o serie cu termeni pozitivi

este convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale este marginit superior. Prezentam

acum un test important de convergenta a seriilor cu termeni pozitivi, si anume criteriile de comparatie:

Propozitia 4.1.1. (primul criteriu de comparatie) Fie seriile de numere pozitive

proprietatea ca exista n0 ÎN, astfel incat "n³n0 an £ bn. Atunci:

1) convergenta seriei

implica convergenta seriei

2) divergenta seriei

implica divergenta seriei

exemplu:

n³ + n å este convergenta deoarece

este convergenta..

Din propozitia 4.1.1 rezulta urmatoarele doua criterii de convergenta

(numite al doilea, respectiv al treilea criteriu de comparatie):

1) Daca seriile cu termeni pozitivi

au proprietatea ca exista n0 Î N, astfel incat

implica convergenta seriei

divergenta seriei

implica divergenta seriei

2) Fie seriile cu termeni pozitivi

exista si este finita si nenula, atunci

seriile

au aceeasi natura.

In utilizarea criteriilor de comparatie apare deseori seria armonica generalizata

pentru

studiul naturii careia este nevoie de cunoasterea .criteriului de condensare al lui Cauchy care afirma ca

o serie cu termeni pozitivi

avand sirul (an)n descrescator, are aceeasi natura cu seria 2

Asadar, pentru a £ 0,

na nu converge la zero, deci seria

å este divergenta, iar pentru 0

aplicam criteriul enuntat, i.e. seria

are aceeasi natura cu seria

este divergenta pentru a £ 1 si convergenta pentru a> 1 .