Extras din curs
Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care serveşte disciplinelor economice si ingineresti.
DEFINITIE
Fie (K,+,⋅) un corp comutativ şi 1K elementul său unitate. Tripletul format din:
- o mulţime V≠Φ
- o lege de compoziţie internă, aditivă, definită pe V, notata : ⊕ , +,…….
⊕ : VVV→×
()vuvu⊕→,, ∀ u,v∈V
- o lege de compoziţie externă, multiplicativă, notata : ∗, ⋅,….
∗ V VK :→×
(α,u)→ α∗u, ∀ α∈K, u∈V
care verifică axiomele:
(V1) (V,⊕) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat θ)
(x⊕y) ⊕z=x⊕ (y⊕z), ∀x,y,z∈V (asociativitate)
x⊕y=y⊕x, ∀x,y∈V (comutativitate)
∃θ∈V, ∀x∈V, x⊕θ=θ⊕x=x (element neutru)
∀x∈V, ∃x’∈V, x⊕x’=x’⊕x=θ (elemente simetrizabile)
(V2) ()K V,vu, ∈∀∈∀∗⊕∗=⊕∗ααααvuvu
(V3) ()K, V,u ∈∀∈∀∗⊕∗=∗+βαβαβαuuu
(V4) ()()uu∗=∗∗αββα ∀ u∈V , K∈∀βα,
(V5) uuK=∗1Vu∈∀
se numeşte spaţiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaţiu vectorial).
Spaţii vectoriale
Matematici aplicate in economie
In cazul in care K=R (respectiv K=C) vom spune că V este un spaţiu vectorial real (respectiv complex).
Elementele unui K-spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari.
Legea aditiva se numeste adunarea vectorilor, iar legea multiplicativa se numeste inmultirea vectorilor cu scalari.
Vectorul θ se numeste vectorul nul al spatiului vectorial.
Proprietaţi
Intr-un K-spaţiu vectorial (V,+,⋅)/K, următoarele afirmaţii sunt adevărate:
VuK , v-uu)-( 2)Vvu,K v-uv)-u( )1∈∀∈∀⋅⋅=⋅∈∀∈∀⋅⋅=⋅βαβαβααααα
3) K ∈∀=⋅αθθα
4) Vu 0∈∀=⋅θuk
5) Vu )(∈∀−=⋅−uuK1
6) dacă θα=⋅u, atunci K0=α sau θ=u.
Exemple.
1. Spaţiul aritmetic cu n dimensiuni, nK
Fie K un corp comutativ şi n∈N* .Vom considera produsul cartezian
=nK4434421orinKKK−×××.... .
Elementele lui Kn sunt de forma )...,(21nxxxx= şi se numesc n-uple ordonate.
nK are structură de spaţiu vectorial peste corpul K, impreună cu urmatoarele legi de compozitie:
-o lege de compoziţie aditivă, definită prin:
∀x=(x1,x2,…xn), y=(y1, y2,…yn)∈Kn x+ydef= (x1+y1,x2+y2,…xn+yn)
-o lege de compoziţie externă peste K definită prin:
x=(x1,x2,…xn)∈Kn ,∀α∈K α⋅xdef=(αx1,αx2,…αxn).
Preview document
Conținut arhivă zip
- Spatii Vectoriale.pdf
Alții au mai descărcat și
1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...
OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
7.3. Conceptul de probabilitate Pentru masurarea sanselor de realizare a unui eveniment aleator s-a introdus notiunea de probabilitate. Sunt...
SPATII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE 1.1 Definitia spatiilor vectoriale Pentru a introduce notiunea de spatiu vectorial avem nevoie de notiunea...
Te-ar putea interesa și
CAPITOLUL 1 ALGEBRE ŞI COALGEBRE 1.1 Algebre şi module Fie k un corp comutativ. Vom da în continuare două definiţii echivalente ale noţiunii de...
CAPITOLUL 1 ALGEBRE ŞI COALGEBRE 1.1 Algebre şi module Fie k un corp comutativ. Vom da în continuare două definiţii echivalente ale noţiunii de...
Definitie: Fie o multime ale carei elemente le vom nota prin litere latine mici si le vom numi vectori. Fie de asemenea un corp ale carui...
MULTIPLE CHOICE 1. Fie urmatoarea forma patratica: Aflati matricea asociata acestei forme patratice. a. c. b. d. ANS: A 2. Fie urmatoarea...
Matematica True/False Indicate whether the sentence or statement is true or false. ____ 1. Fie vectorii b1 = (2, 4, 5), b2 = (-1, 1, 0), b3 =...
Chapter 1 Spat¸ii vectoriale 1.1 Spat¸ii vectoriale peste un corp K Fie K un corp comutativ (poate fi corpul numerelor complexe C, cel al...
OBIECTIVE Scopul principal al cursului este de a asigura baza matematica de întelegere si fundamentare a aparatului matematic utilizat în cadrul...
