Spațiu Vectorial în Raport cu un Corp K

Definitia 1.1. Se numeste spatiu vectorial (liniar) în raport cu corpul K, multimea X nevida, înzestrata cu o lege de compozitie interna (notata aditiv si numita adunare):

“+” : X ´ X® X,

o lege de compozitie externa (notata multiplicativ si numita înmultire cu scalar):

“×” : K ´ X ® X,

care au urmatoarele proprietati:

(i). (x + y) + z = x + (y + z), (") x, y, z Î X (asociativitate);

(ii). ($) în X un element, notat 0, numit element neutru, astfel ca

x + 0 = 0 + x = x, (") xÎX;

(iii). (") x Î X, ($) în X un element, notat – x, numit opusul elementului x, astfel ca: x + (- x) = (- x) + x = 0;

(iv). x + y = y + x, (") x, y Î X (comutativitate);

(v). (a+b)× x = a× x + b× x, (") a, bÎK, xÎX;

(vi). a× ( x + y) = a× x + a× y, (") aÎK, x, yÎX;

(vii). (a×b)× x = a× (b× x), (") a, bÎK, xÎX;

(viii). Daca 1Î K atunci 1× x = x, (") xÎ X.

Elementele spatiului vectorial X le vom numi vectori, iar elementele corpului K le vom numi scalari. Elementul 0 se mai numeste elementul nul al spatiului X.

Corpul K este unul din corpurile R al numerelor reale sau corpul C al numerelor complexe; daca K º R atunci X se numeste spatiu vectorial real, iar daca K º C spatiul X se numeste spatiu vectorial complex.

Exemple: 1). Produsul cartezian Kn = K´K´…´K, adica multimea:

Kn = {x | x = (x1, x2,…,xn), xiÎK, i = 1, 2, …,n}

formeaza o structura de spatiu vectorial peste corpul K, daca definim operatiile de adunare si înmultire cu scalari astfel:

(x1, x2, ..,xn) + (y1, y2, …,yn) = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn)

si

a×(x1, x2, …xn) = (ax1, ax2, …, axn).

Vectorul nul este în acest caz vectorul 0 = (0, 0, …,0), iar opusul vectorului

x = (x1, x2, …xn) este vectorul –x = (-x1, -x2, …-xn).

2). Multimea polinoamelor de o nedeterminata, de grad cel mult n (nÎN), cu coeficienti într-un corp K, în raport cu operatiile de adunare a polinoamelor si de înmultire a polinoamelor cu un element din corpul K.

Cazuri particulare:

Rn = {x | x = (x1, x2,…,xn), xiÎR, i = 1, 2, …,n},

Cn = {x | x = (x1, x2,…,xn), xiÎC, i = 1, 2, …,n}.

3). Multimea sirurilor x = (xn)nÎN de numere reale sau complexe, care satisfac conditia de marginire:

|xn| £ a(x), (") nÎN,

a(x) fiind un numar pozitiv care depinde de x, cu legile de compozitie astfel definite:

(xn)nÎN + (yn)nÎN = (xn + yn)nÎN,

a×(xn)nÎN = a×(xn)nÎN, aÎK.

(4). Multimea C0[a,b] = {f | f:[a,b]®R, f – continua pe [a,b]} a functiilor continue pe intervalul închis [a,b] în raport cu operatiile:

(f + g)(t) = f(t) + g(t), (") tÎ[a,b],

(a×f )(t) = a×f(t) , (") aÎR, tÎ[a,b].

5). Multimea Mm,n(K) a matricelor cu m linii si n coloane cu elemente numere reale (sau complexe) formeaza un spatiu vectorial peste corpul R (sau C), în raport cu operatiile de adunare a matricelor de acelasi tip si de înmultire a matricelor cu un scalar.

Daca A,B Mm,n(K), A = , B = se defineste suma celor doua matrice ca fiind matricea

S = A+B, S Mm,n(K), S = , sij = aij + bij , ,

iar înmultirea cu scalari a unei matrice este tot o matrice definita astfel:ESV

(±,A) ±A, ±A Mm,n(K),

.

6). Spatiul vectorial al vectorilor liberi.

Notam prin E3 spatiul geometric punctual (adica multimea punctelor din spatiul ambiant).

Definitia 1.2. O pereche E3 E3 se numeste segment orientat din E3, de origine si extremitate . Acesta se noteaza . Lungimea segmentului orientat se numeste modulul acestuia si se noteaza | |.

Definitia 1.3. Doua segmente orientate si se numesc echipolente daca patrulaterul este paralelogram. Se noteaza ~ .

Relatia de echipolenta definita mai sus are urmatoarele proprietati, a caror justificare este imediata:

a). ~ ;

b). ~ ~ ;

c). ~ si ~ ~ ;

deci relatia “ ~” este o relatie de echivalenta în multimea segmentelor orientate.

Definitia 1.4. O clasa de echivalenta în raport cu relatia de echipolenta în multimea segmentelor orientate din E3 se numeste vector liber.

Deci un vector liber poate fi considerat ca fiind multimea segmentelor orientate echipolente cu un vector dat.

Deoarece doua segmente orientate echipolente au module egale, aceeasi directie (adica dreptele care unesc extremitatilelor au aceeasi directie) si aceeasi orientare, rezulta ca modulul, directie si sensul, comune tuturor segmentelor orientate dintr-o clasa de ecxhivalenta, sunt elemente ce caracterizeaza vectorii liberi.