Elemente de Teoria Probabilităților

1. Conceptele: experiment şi eveniment

În teoria probabilităţilor un loc central îl ocupă conceptul de eveniment; în acest context prin eveniment înţelegem orice rezultat al unui experiment. Efectuarea unui experiment presupune realizarea unui complex de condiţii şi tocmai această realizare o vom înţelege atunci când ne vom exprima pe scurt spunând “se face un experiment”.

Distingem: - evenimentul sigur (cert) care este evenimentul ce se produce în mod obligatoriu, la efectuarea unui anumit experiment;

- evenimentul imposibil care este evenimentul ce în mod obligatoriu nu se produce la efectuarea unui anumit experiment;

- evenimentul întâmplător (aleator) care este evenimentul ce poate să se producă sau nu la efectuarea unui anumit experiment, dependent de acţiunea mai multor factori întâmplători.

Două sau mai multe evenimente spunem că sunt incompatibile dacă producerea unuia dintre ele exclude producerea celorlalte într-o aceeaşi probă.

1.1. Exemple de evenimente

(i) Presupunem că într-o urnă se găsesc a bile albe şi b bile negre. Fie A evenimentul care constă în extragerea unei bile albe şi B evenimentul care constă în extragerea unei bile negre după ce a fost extrasă o bilă (care nu se reintroduce în urnă înaintea celei de-a doua extrageri). Dacă prima bilă extrasă a fost albă, adică s-a produs evenimentul A, atunci în urnă au rămas b bile negre şi probabilitatea evenimentului B va fi b/(a+b-1); dacă prima bilă extrasă a fost neagră, adică s-a realizat evenimentul B, atunci în urnă au rămas b-1 bile negre şi probabilitatea evenimentului B va fi (b-1)/(a+b-1). Este evident faptul că probabilitatea lui B depinde de faptul că evenimentul A s-a produs sau nu.

(ii) La aruncarea unei monede există posibilitatea apariţiei feţei-1 (evenimentul A) sau a feţei-2 (evenimentul B). Probabilitatea apariţiei unei feţe la o aruncare nu depinde de ceea ce s-a realizat la aruncarea precedentă.

(iii) Considerăm o urnă în care se găsesc a bile albe şi b bile negre. Fie A evenimentul care constă în extragerea unei bile albe şi B evenimentul care constă în extragerea unei bile negre. După extragere presupunem că bila se reintroduce în urnă. În aceste condiţii probabilitatea de realizare a unui eveniment (A sau B) într-o anumită extragere nu depinde de realizarea evenimentului (B sau A) la extragerea precedentă.

(iv) Deseori se spune că o anumită maşină care produce un anumit tip de repere dă un număr de procente rebut, aşadar prin producerea unui reper se realizează evenimentul A care constă în obţinerea unui reper bun sau evenimentul B care constă în producerea unui rebut. Despre nici un reper în parte nu putem spune cu certitudine că este bun sau defect, dar dacă se controlează un număr mare de repere produse pe maşina respectivă se constată procentul de rebuturi menţionat.

Definiţia 1. Două evenimente se numesc independente dacă probabilitatea de realizare a unuia dintre ele nu depinde de faptul că celălalt eveniment s-a produs sau nu. În caz contrar evenimentele se numesc dependente.

Observaţie. În exemplul (i) evenimentele A şi B sunt dependente, iar în exemplele (ii), (iii) sunt independente.

1.2. Structura de algebră booleană a mulţimii evenimentelor

În mulţimea tuturor evenimentelor  se pot introduce trei operaţii corespunzătoare operaţiilor logice “sau”, “şi”, “non”;

- evenimentul “A sau B “, notat A B, este evenimentul care se produce dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre evenimentele A, B se produce şi-l vom numi reuniunea evenimentelor A şi B;

- evenimentul “A şi B”, notat AB, este evenimentul care se produce dacă şi numai dacă ambele evenimente A şi B se produc şi-l vom numi intersecţia evenimentelor A şi B;

- evenimentul “non A”, notat CA, este evenimentul care se produce dacă şi numai dacă A nu se produce; acesta va fi numit evenimentul contrar lui A.

Teorema 1. Mulţimea evenimentelor (, , , C), înzestrată cu operaţiile , , C formează o structură algebră booleană.

Evenimentul  = A CA este numit evenimentul cert (sigur), iar evenimentul

= A CA este numit evenimentul imposibil.

În limbajul evenimentelor, relaţia de incluziune A B exprimă faptul că atunci când se produce evenimentul A, se produce în mod necesar şi evenimentul B.

Dacă A B şi B A atunci A=B, caz în care evenimentele A şi B sunt echivalente.

Dacă A B = , în limbajul evenimentelor, spunem că evenimentele A şi B sunt incompatibile.

Este posibil ca mulţimea evenimentelor să fie considerată şi tratată ca o algebră booleană sau, ca un corp de părţi.

1.3. Corp de evenimente (părţi, mulţimi)

Definiţia 2. O mulţime nevidă K() se numeşte corp de evenimente (mulţimi), sau corp de părţi (pe scurt corp) dacă:

(K1). oricare ar fi A K CA K;

(K2). oricare ar fi A,B K A B K.

Teorema 2. Fie K( ) un corp de părţi; atunci au loc proprietăţile:

(K3). K; K;

(K4). dacă (Ai) K K;

(K5). dacă A,B K AB K;

(K6). dacă A,B K A B K; (A B=(AB) (BA) reprezintă diferenţa simetrică a mulţimilor A şi B).

Demonstraţie. K ( ), A K.