Statică

1.1. Sumarea şi multiplicarea vectorilor cu o mărime scalară

Vectorii sunt entităţi matematice, caracterizaţi de mărime, direcţie, sens şi punct de aplicaţie.

Sumarea a doi vectori concurenţi într-un punct O, se realizează după regula paralelogramului (fig. 1.1). De altfel, multe din operaţiile cu vectori studiate de algebra vectorială pot fi deduse cu ajutorul acestei reguli. Folosind pentru vector, notaţia cu simbolul barat la partea superioară, se scrie:

c

a

b

bac+= (1.1)

Din regula paralelogramului rezultă că sumarea este o operaţie în cadrul căreia nu este importantă ordinea de sumare, ceea ce înseamnă că această operaţie este comutativă:

O

Fig. 1.1.

abbac+=+= (1.2)

Se observă că se poate obţine acelaşi rezultat dacă se realizează un triunghi al vectorilor (fig. 1.2), în care un vector echipolent cu a, are originea în extremitatea vectorului b. Vectorul c , numit vector rezultant sau rezultantă, va avea originea comună cu originea primului vector (punctul O), şi extremitatea în extremitatea celui de-al doilea vector.

b

c=a+b

a

O

Fig. 1.2.

Construcţia grafică din figura 1.2 este numită regula triunghiului, şi este echivalentă cu regula paralelogramului.

Sumarea vectorilor este o operaţie asociativă. Astfel, pentru trei vectori a, b şi c, vectorul rezultant se calculează în două etape: se procedează la sumarea primilor doi vectori, apoi la suma obţinută se sumează cel de-al treilea vector (fig. 1.3). Acelaşi rezultat se obţine şi dacă se sumează mai întâi ultimii doi vectori, apoi primul vector (fig. 1.4), ceea ce se scrie:

)()(cbacba++=++ (1.3)

Sumarea mai multor vectori conduce la generalizarea regulii triunghiului, stabilindu-se regula conturului poligonal, vectorul rezultant

5

având originea comună cu primul vector, iar extremitatea în extremitatea ultimului vector.

(a+b)+c

a+b

b

c

a

b+c

b

c

a

a+(b+c)

Fig. 1.3.

Fig. 1.4.

Cea mai simplă operaţie de multiplicare a vectorilor este multiplicarea cu un scalar (sau cu o mărime scalară).

Mărimea scalară este o entitate caracterizată printr-un număr.

Dacă α este un scalar, atunci prin multiplicarea vectorului a cu scalarul α înţelegem un vector αacare are următoarele caracteristici:

– mărimea este egală cu produsul dintre α şi modulul vectorului a;

– direcţia aceeaşi cu cea a vectorului a;

– sensul este acelaşi cu sensul vectorului a dacă α este pozitiv, sau de sens opus dacă α este negativ;

– punctul de aplicaţie coincide cu al vectorului a.

1.2. Versorii şi componentele ortogonale ale unui vector

Dacă vectorul aau=, unde a este mărimea vectorului a, este adimensional, are mărimea egală cu unitatea şi are aceeaşi direcţie cu vectorul a, atunci u se numeşte versorul direcţiei vectorului a.

Versorii direcţiilor predefinite furnizează mecanismul obişnuit de exprimare a vectorilor. Astfel, orice vector se poate exprima în funcţie de versorul direcţiei sale:

uaa= (1.4)

Fie un sistem de axe triortogonal cartezian drept Oxyz, pentru care versorii acestor axe sunt i, j şi k.

Regula paralelogramului ne permite să descompunem un vector a în trei componente reciproc ortogonale scrise iax, jay şi kaz (fig. 1.5), astfel încât:

6

kajaiaazyx++= (1.5)

Relaţia (1.5) reprezintă expresia analitică a vectorului a în raport cu sistemul de axe Oxyz.

Numim proiecţiile vectorului a pe cele trei axe, mărimile scalare ax, ay, şi az (fig. 1.6), care se scriu în funcţie de unghiurile α, β şi γ pe care le face