Algebră liniară și geometrie analitică diferențială

P1.1 In se dau vectorii: , , .

a. Să se determine dimensiunea subspaţiului generat de aceşti trei vectori;

b. Să se determine varietatea liniară generată de cei trei vectori;

c. Este vectorul un element al acestei varietăţi liniare?

Rezolvare.

a. Dimensiunea spaţiului generat de cei trei vectori este egală cu rangul matricei coordonatelor vectorilor.

Se formează matricea coordonatelor vectorilor.

Determinăm rangul matricei

Se calculează determinantul matricei

=0 (Verificat)

Rezultă că . Căutăm un minor de ordinul 2 al cărui determinant să fie diferit de zero. Considerăm minorul

Calculăm determinantul

det =1

Deoarece există un minor de ordinul 2 al cărui determinat este diferit de zero rezultă că .

In concluzie dimensiunea spaţiului generat de cei trei vectori este 2.

b. Prin definiţie subspaţiul generat de cei trei vectori (varietatea liniară a vectorilor ) este dată de relaţia

c. Pentru ca vectorul să fie un element al subspaţiului este necesar ca următorul sistem de ecuaţii să fie compatibil:

Pentru ca acest sistem neomogen sa fie compatibil trebuie ca , unde este matricea sistemului iar matricea extinsă (teorema Kroneker-Capelli).

Se observă că această matrice este transpusa matricei coordonatelor de la punctul a deci . Formăm acum matricea extinsă.

Calculăm determinantul minorului

, deci .

Deoarece rezultă că sistemul nu este compatibil şi deci vectorul nu aparţine subspaţiului .

P1.2. In se dau vectorii: , , .

a. Să se determine dimensiunea subspaţiului generat de aceşti trei vectori;

b. Să se determine varietatea liniară generată de cei trei vectori;

c. Este vectorul un element al acestei varietăţi liniare?

Rezolvare

a. Dimensiunea spaţiului generat de cei trei vectori este egală cu rangul matricei coordonatelor vectorilor.

Se formează matricea coordonatelor vectorilor.

Determinăm rangul matricei

Se calculează determinantul matricei

=4

Rezultă că .

In concluzie dimensiunea spaţiului generat de cei trei vectori este 3.

b. Prin definiţie subspaţiul generat de cei trei vectori (varietatea liniară a vectorilor ) este dată de relaţia

c. Pentru ca vectorul să fie un element al subspaţiului este necesar ca următorul sistem de ecuaţii să fie compatibil:

Pentru ca acest sistem neomogen sa fie compatibil trebuie ca , unde este matricea sistemului iar matricea extinsă (teorema Kroneker-Capelli).