Fițuică pentru examenul de statistică

Media aritmetica (x) reprezinta valoarea care înlocuind toti termenii unei serii nu modifica nivelul lor totalizator si se calculeaza ca suma valorilor raportata la numarul lor.

În cazul în care datele au fost sistematizate într-o serie de distributie de frecvente, în care valorile / centrele intervalelor de variatie (xi ,i = 1, r) apar cu frecventele ni media aritmetica (numita si medie aritmetica ponderata) este:

Asupra mediei aritmetice sunt de facut câteva observatii si de subliniat câteva proprietati:

a) Pentru un sir de valori constante, media este egala cu constanta;

b) Media are întotdeauna valoarea cuprinsa între valoarea minima din serie (xmin) si valoarea maxima (xmax);

c) Suma abaterilor valorilor individuale (xi) de la media lor ( x ) este întotdeauna egala cu zero (adica distantele fata de centru se balanseaza, se compenseaza perfect);

d) Daca valorile individuale ale unei variabile sunt marite sau micsorate cu constanta „a“, atunci media se modifica si ea, în acelasi sens, cu aceeasi constanta „a“;

e) Daca valorile individuale ale unei variabile sunt modificate de h ori, media se modifica si ea de h ori;

Indicatorii medii de pozitie sunt: modul si mediana. Mediana face parte din indicatorii (mai generali) de pozitie, numiti cuantile, alaturi de cuartile, decile etc.

Valoarea modala

Modul (M0) reprezinta valoarea cel mai des întâlnita într-o serie statistica sau cea care are cea mai mare frecventa de aparitie.

În cazul seriilor de distributie de frecvente pe intervale de variatie, determinarea modului presupune mai întâi, identificarea intervalului cu frecventa maxima (int M0). Apoi, modul se poate determina conform relatiei:

Mediana (Me) este un indicator mediu de pozitie care face parte din categoria cuantilelor. Ea reprezinta valoarea/varianta din mijlocul unei serii de date, serie în care observatiile au fost ordonate crescator (sau descrescator).

Daca datele au fost sistematizate într-o serie de distributie de frecvente pe variante, pentru determinarea medianei vom calcula, mai întâi, frecventele cumulate (Fci). Prima frecventa cumulata mai mare decât (n+1)/2, adica mai mare decât locul medianei, ne indica varianta mediana.

Cuantilele, categorie de indicatori de pozitie din care face parte si mediana, pot fi usor întelese intuitiv prin extinderea notiunii de mediana si reprezinta valori ce împart seria în parti egale.

Astfel, cuartilele (cuantile de ordin patru) împart seria în patru parti egale, ele delimitând câte 25% din observatii. Ele sunt în numar de trei: Q1, Q2, Q3 (fig. 3.5); Q1 se numeste cuartila inferioara, Q2 este egala întotdeauna cu mediana, Q3 se numeste cuartila superioara. Similar se pot determina cuantile de ordin superior, ca de pilda decilele (care sunt D1, ...., D9 si delimiteaza câte 10% din observatii, D5 = Me) ori percentile (delimiteaza câte 1% din observatii).