Laborator 3 Sisteme Automate - Mecatronica

1. Teorie

Ecuatii diferentiale

Pentru un sistem liniar continuu monovariabil forma cea mai generală sub care se poate prezenta ecuaţia diferenţială ce caracterizează funcţionarea sa este:

(1)

unde este variabila de intrare în sistem, variabila sa de ieşire, iar coeficienţii şi sunt consideraţi funcţii continue de timp. Dacă sistemul este invariant, coeficienţii şi vor fi nişte constante.

Un sistem liniar continuu invariant de ordinul întâi este caracterizat de ecuaţia:

(2.2)

, (2.3)

– reprezintă constanta de timp a sistemului;

– reprezintă factorul de amplificare (coeficientul de transfer în regim staţionar).

Pentru un sistem de ordinul doi este descris de ecuaţia:

(2.4)

. (2.5)

Uzual ecuaţia diferenţială ce caracterizează un sistem de ordinul doi se pune sub forma:

, (2.6)

în care:

– reprezintă pulsaţia naturală de oscilaţie a sistemului;

– reprezintă factorul de amortizare al sistemului.

Functia de transfer

Se considera funcţiile şi din ecuaţia (2.1) care admit transformarea Laplace si, ţinând seama de teorema liniarităţii şi teorema derivării reale prin aplicarea transformatei Laplace acestei ecuaţii diferenţiale, se obţine:

, (2.12)

unde:

– reprezintă un polinom de grad (n-1) în variabilă s ce depinde de condiţiile iniţiale ale variabilei şi primelor (n-1) derivate ale sale;

– reprezintă un polinom de grad (m-1) în variabilă s ce depinde de condiţiile iniţiale ale variabilei şi primelor (m-1) derivate ale sale.

Dacă se consideră toate condiţiile iniţiale nule, atunci polinoamele şi sunt identic nule şi relaţia (2.12) devine:

.

unde cu s-a notat funcţia de transfer. Aceasta se poate scrie şi

, (2.15)

în care:

, (2.16)

. (2.17)