Ecuații algebrice

INTRODUCERE

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme ale matematicii şi a constituit multă vreme obiectul principal al algebrei.

Teoria ecuaţiilor are drept scop găsirea diferitelor proprietăţi ale unei ecuaţii, care să permită calculul exact sau cu aproximaţie al rădăcinilor ei şi să emită concluzii asupra rădăcinilor când coeficienţii au anumite proprietăţi.

Lucrarea de faţă încearcă să prezinte problematica rezolvării ecuaţiilor algebrice în general punând accent pe metodele de rezolvare a ecuaţiilor algebice de gradul I, II, III, IV cu coeficienţi reali. Un punct central de interes cu privire la soluţiile ecuaţiei algebrice cu coeficienţi complecşi îl constituie Teorema fundamentală a algebrei.

Pentru început, în Capitolul I am considerat necesar a face o prezentare a aspectelor generale legate de noţiunea de polinom cu o nedeterminată, deoarece ecuaţiile algebrice sunt de fapt ecuaţii polinomiale.

Capitolul II face o trecere în revistă a tipurilor de ecuaţii, a transformărilor efectuate pe parcursul rezolvării acestora, a unor procedee de rezolvare, şi de asemenea, cuprinde observaţii şi comentarii în legătură cu rădăcinile unei ecuaţii.

Capitolul III tratează problema de bază a lucrării- rezolvarea ecuaţiilor de gradul I, II, III, IV, precum şi rezolvarea unor ecuaţii particulare. Studiul lor este făcut în cadrul mai larg al ecuaţiilor algebrice.

Deoarece formulele de rezolvare a ecuaţiilor de gradul III şi respectiv IV nu sunt uşor de aplicat, de multe ori este nevoie de abordări specifice fiecărei ecuaţii. Astfel, în Capitolul IV am prezentat câteva puncte cheie cu care analiza matematică vine în sprijinul găsirii soluţiilor unei ecuaţii.

Partea metodologică a lucrării face în Capitolul V o prezentare a problematicii evaluării şcolare, iar în Capitolul VI sunt puse în discuţie anumite aspecte metodice privitoare la tratarea ecuaţiilor algebrice.

Lucrarea se încheie cu Capitolul VII constituit ca o anexă ce cuprinde materiale folosite la clasă: plan de lecţie, planificarea unităţii de învăţare, modele de teste folosind diferite tipuri de itemi.

Tematica prezentată, precum şi observaţiile metodice sunt însoţite de exemple, exerciţii şi probleme aplicative.

Lucrarea se înscrie în cadrul preocupărilor de dezvoltare profesională şi aprofundare a studiului de specialitate cu care sunt datoare, dar ea este în adevăr rodul muncii profesorilor pe care i-am avut în şcoală şi a autorilor menţionaţi la bibliografie.

Se vorbeşte tot mai mult de performanţă. În ultimul timp performanţa tinde să se asocieze cu excelenţa. Nu trebuie uitat totuşi, că performanţa este şi aceea de a-ţi depăşi propriile limite. A urca o treaptă este o performanţă.

Paşii pe care îi facem în viaţă şi în activitatea profesională ne sunt călăuziţi adesea de către oameni cu multă dăruire care ne sunt lumină, sprijin şi încurajare, care ne iartă şi ne întind cu sinceritate o mână fermă şi caldă. Datori suntem să ne plecăm în faţa lor cu recunoştinţă.

Pentru aceasta, mulţumesc din suflet naşei mele, profesoarei Ciobanu Valentina şi tuturor celor ce m-au încurajat cu gândul, vorba şi fapta bună.

SCURT ISTORIC

Preocupările oamenilor pentru matematică datează din cele mai vechi timpuri. Primii paşi spre desluşirea problemelor vieţii au fost numărarea, măsurarea, compararea, calculul unor suprafeţe sau volume, rezolvarea unor probleme legate de chestiuni practice şi au condus omul pe calea cunoaşterii de la necesităţi practice la plăcerea de a desluşi idei, de a problematiza. Astfel s-a cristalizat matematica şi a parcurs scara dezvoltării de la concret la abstract.

Se pare că vechii egipteni erau preocupăţi nu doar de problemele reale ale vieţii, ci şi de probleme teoretice, inventate căutând să generalizeze, să găsească un model matematic. Astfel manualul lui Ahmes “Papyrus Rhind” arată că egiptenii cunoşteau ecuaţiile de gradul I, fracţiile, calculul aproximativ al ariei cercului.

Chestiuni de ordin practic (în special măsurători) au condus destul de timpuriu la ecuaţii de gradul II. În scrierile cuneiforme din matematica babiloniană se întâlnesc ecuaţii de gradul II şi chiar sisteme de ecuaţii de gradul II cu două necunoscute.

Matematica greacă s-a preocupat de tratarea geometrică a problemelor algebrice. Heron din Alexandria (100 d. H.) a preluat tradiţia babiloniană şi egipteană în ce priveşte rezolvarea ecuaţiilor de gradul II folosind formule aproximative pentru extragerea rădăcinii pătrate. Extragerea rădăcinii pătrate a constituit o preocupare a matematicienilor indieni, în special Bhâskara (144 d. H.). Metodele au pătruns în Europa prin intermediul scrierilor arabe care au contribuit la perfecţionarea lor.

Ecuaţiile cubice erau cunoscute grecilor antici, indieni şi babilonieni. Progrese importante în studiul ecuaţiilor de gradul III a realizat Heron din Alexandria reuşind rezolvarea numerică a ecuaţiei cubice. Primul pas în algebrizarea procedeelor de calcul este datorat matematicienilor arabi şi indieni. Dar cu toate că ştiau să rezolve ecuaţii de gradul II şi unele ecuaţii de gradul III nu au reuşit să descopere formulele generale. Cel care a reuşit primul să facă acest lucru se pare că a fost Scipione del Farro din Bologna, dar lucrările sale nu au fost publicate. Independent de acesta Niccolo Tartaglia (1500-1557) a găsit formulele de rezolvare însă laurii succesului i-au fost luaţi de Cardano (vezi Capitolul III, 3.4.).

Rezolvarea ecuaţiilor pune problema existenţei şi găsirii soluţiilor. Presupunerea că orice ecuaţie de gradul n admite în mulţimea numerelor complexe n rădăcini a fost prima dată formulată de olandezul Albert Girard (1595-1632). Au încercat să demonstreze această afirmaţie René Descartes (1596-1650), Jean d’Alembert (1717-1783) şi alţii. Prima demonstraţie complexă a Teoremei fundamentale a algebrei a dat-o Gauss (1777-1855) în anul 1799. Ulterior a mai găsit şi alte demonstraţii diferite pentru aceasta.

După ce în perioada Renaşterii s-au găsit formulele de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul III şi IV, matematicienii secolelor XVII-XVIII s-au preocupat insistent de găsirea formulelor de rezolvare a ecuaţiilor de gradul V şi mai mare. Treptat s-a ajuns la recunoaşterea faptului că rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad superior nu este posibilă. Au contribuit la aceasta Joseph- Louis Lagrange (1736-1813) şi Carl- Friedrich Gauss (1777-1855).

În anul 1824, norvegianul Niels Henrik Abel (1802-1829), un geniu al matematicii reuşeşte să demonstreze că ecuaţia de gradul V (şi deci şi cele de grad mai mare) nu este rezolvabilă prin radicali, după ce în 1799 Paolo Ruffini dăduse o demonstraţie incompletă a acestei afirmaţii. Recunoaşterea şi acceptarea acestui fapt a fost cu atât mai dificilă cu cât marea majoritate a cazurilor speciale de ecuaţii algebrice de grad superior pot fi rezolvate prin radicali.

Ulterior, matematicianul Evariste Galois (1811-1832) elucidează problema enunţând condiţiile necesare şi suficiente ca o ecuaţie algebrică de grad mai mare sau egal cu cinci să fie rezolvată prin radicali.