Modele matematice aplicate în științe economico-sociale

Capitolul I: Elemente de teoria jocurilor

1.1. Concepte fundamentale

Teoria jocurilor este o ramură a matematicii ce are drept scop determinarea celor mai bune hotărâri în situaţii conflictuale în care acţionează mai mulţi factori raţionali ce urmăresc interese opuse.

Fondatorii teoriei jocurilor sunt J. Von Neumann şi O. Morgenstern (1944), ei fiind şi primii care au analizat situaţiile de conflict în domeniul economic, unde, în prezenţa unui regim de liberă concurenţă, participanţii cu interese opuse sunt case de comerţ, antreprize industriale etc. Situaţiile conflictuale se întâlnesc nu doar în economie, ci în toate domeniile, de aici rezultând şi importanţa teoriei jocurilor.

Un joc în sens matematic este definit de 3 elemente: mulţimea jucătorilor, mulţimea strategiilor unui jucător şi mulţimea rezultatelor posibile.

Prin jucător se înţelege orice participant la joc; vom nota cu mulţimea jucătorilor. Prin strategie a unui jucător se înţelege orice acţiune pe care o poate întreprinde respectivul jucător. Vom nota spaţiul strategiilor la nivelul jucătorul , unde . Dacă , vom nota cu strategiile de răspuns la nivelul celorlalţi jucători: .

În urma alegerii unei strategii de către fiecare jucător se ajunge la un rezultat. Funcţia obiectiv reprezintă cel mai bun rezultat la nivelul fiecărui jucător şi se notează cu .

La nivelul firmelor, funcţia obiectiv este cea a profitului, iar la nivelul consumatorului estre cea a utilităţii.

În teoria jocurilor există două tipuri de strategii: pure şi mixte. Dacă într-un joc, unul dintre adversari are la dispoziţie alternative, iar partida se încheie prin alegerea uneia dintre ele, atunci se spune că jucătorul are la dispoziţie strategii pure.

Dacă partida se repetă, jucătorii capătă experienţă şi în funcţie de rezultatele anterioare îşi pot alege strategii pure cu anumite probabilităţi. În acest caz avem de-a face cu strategii mixte.

1.2. Clasificarea jucătorilor

Jocurile se pot clasifica după mai multe criterii. Distingem astfel:

i. după timpul în care jucătorii fac mutările: jocuri statice (atunci când mutările se fac simultan) şi jocuri dinamice (atunci când mutările sunt secvenţiale);

ii. după caracterul informaţiilor deţinute de jucători: jocuri în condiţii de informaţie completă (atunci când câştigurile jucătorilor sunt informaţii comune) şi jocuri în condiţii de informaţie incompletă (atunci când câştigurile jucătorilor sunt confidenţiale);

iii. în funcţie de cunoaşterea istoriei jocului : jocuri în condiţii de informaţie perfectă (atunci când jucătorii cunosc istoria jocului) şi jocuri în condiţii de informaţie imperfectă (atunci când jucătorii nu cunosc istoria jocului);

iv. în funcţie de numărul jucătorilor şi al strategiilor: jocuri finite (atunci când, atât numărul jucătorilor, cât şi cel al strategiilor, este finit) şi jocuri infinite (atunci când avem un număr infinit de jucători sau strategii);

v. din punct de vedere al câştigului: jocuri cu sumă nulă (atunci când, la sfârşitul jocului, sumele pierdute de unii jucători se regăsesc în totalitate în câştigurile celorlalţi şi reciproc) şi jocuri cu sumă nenulă (atunci când, la sfârşitul jocului, câştigurile totale nu sunt egale cu pierderile totale).

1.3. Jocuri de două persoane

Observaţia 1.3.1.

Fie un joc de două persoane cu sumă nulă, mulţimea strategiilor primului jucător, mulţimea strategiilor celui de-al doilea jucător, iar IR funcţia câştig a primului jucător, definită prin IR, , . Evident, deoarece jocul este cu sumă nulă, funcţia câştig a celui de-al doilea jucător este .

În consecinţă, jocul de două persoane cu sumă nulă se poate reprezenta prin matricea (IR), numită matricea jocului.

Exemplul 1.3.2.

Considerăm următorul joc de două persoane: fiecare dintre cei doi jucători alege culoarea alb sau negru.

Dacă ambii aleg aceeaşi culoare, primul jucător câştigă 10 u.m., iar dacă aleg culori diferite, al doilea jucător câştigă 10 u.m.

Aşadar, fiecare jucător are două strategii: , , iar matricea jocului este: .

Observaţia 1.3.3.

Jocurile de două persoane fără sumă se pot reprezenta printr-o bimatrice astfel: fie mulţimea strategiilor primului jucător, mulţimea strategiilor celui de-al doilea jucător, IR funcţia câştig a primului jucător, definită prin IR, , şi IR funcţia câştig a celui de-al doilea jucător, definită prin IR, , .

În consecinţă, jocul de două persoane cu sumă nenulă se poate reprezenta prin bimatricea , numită bimatricea jocului.