Proiectarea și utilizarea filtrelor Kalman la radarele folosite pentru determinarea țintelor aeriene

CAPITOLUL I

Introducere în filtre Kalman

1 .Introducere

Teoretic, un filtru Kalman este un estimator pentru problema liniar pătratică. Aceasta se defineşte ca fiind o problemă în estimarea unei stări instantanee al unui sistem dinamic liniar perturbat de zgomot alb, folosind măsurători legate liniar de stare, dar perturbate de zgomot alb. Estimatorul rezultant este unul optim din punct de vedere statistic.

Practic este una dintre cele mai mari descoperiri în istoria estimărilor statistice şi, posibil, chiar una dintre cele mai mari descoperiri ale secolului XX. Datorită lui, lumea a putut face multe lucruri care nu puteau fi făcute fără el si a devenit la fel de indispensabil ca si siliciul in componentele electronice. Primele lui aplicaţii au fost reglarea unui sistem dinamic complex cum sunt procesele continue de fabricaţie, avioane, vapoare, nave spaţiale. Pentru aceste aplicaţii nu este întotdeauna posibil sau de dorit sa măsuram fiecare variabilă pe care vrem sa o reglăm, iar filtrul Kalman furnizează mijloacele pentru a deduce informaţiile lipsa din măsurătorile indirecte si asociate de zgomot. Filtrul Kalman este, de asemenea, folosit pentru a prezice cursul probabil pe viitor al sistemelor dinamice in care sunt şanse puţine ca ele sa fie reglate, cum ar fi cursul râului in timpul unei inundaţii, traiectoria unui corp ceresc, sau preturile articolelor de comerţ.

Un filtru Kalman este un algoritm optimal recursiv de procesare a datelor. Sunt multe posibilităţi de a defini cuvântul „ optimal” depinde însă, de criteriul ales pentru a evalua performanţa. Un filtru Kalman este optimal pentru că el conţine toate informaţiile care ii sunt furnizate. El prelucrează toate măsurătorile disponibile, indiferent de precizia lor şi estimează valoarea: curentă a variabilelor care ne interesează cu ajutorul

1. Cunoştinţelor despre sistem şi măsurătorile dispozitivului dinamic;

2. Descrierea statistică a zgomotului din sistem, erorile de măsurare şi incertitudinile modemului dinamic.

3. orice informaţie disponibilă despre condiţiile iniţiale ale variabilelor care ne interesează

Un filtru este de fapt un algoritm de procesare a datelor.

1.1 Ce este un filtru Kalman ?

i) Este doar un instrument. Nu rezolva probleme de unul singur. Nu este un instrument fizic ci unul matematic. Este realizat din modele matematice.

ii) Este un program pe calculator. Este considerat potrivit pentru implementarea pe calculatoare digitale, în parte pentru ca foloseşte o reprezentare finită a problemei de estimare (un numar finit de variabile).

iii) Este o caracterizare statistică completă a unei probleme de estimare. Este mult mai mult decat un estimator, deoarece el propagă întreaga distribuţie de probabilitate a variabilelor pe care trebuie sa le estimeze. Aceasta e o caracterizare completă a stării de cunoaştere curentă a sistemului dinamic, incluzand influenţa măsurărilor anterioare. Aceste distribuţii de probabilitate sunt de asemenea, folositoare pentru analizele statistice si modelele predictive al sistemelor senzoriale.

Fig.1.1 Concepte fundamentale in filtrarea Kalman

Figura 1.1 arată subiectele esentiale care formeaza fundatia pentru teoria filtrelor Kalman.

Aplicatiile filtrelor Kalman acoperă multe domenii, dar folosirea lui ca pe un instrument este aproape în exclusivitate pentru două cauze: estimare si analiza performanţelor estimatoarelor.

1.2 Metoda celor mai mici pătrate

Urmatorul exemplu al problemei celor mai mici pătrate este cel mai des utilizat, deşi metoda poate fi aplicată unei game diversificate de probleme.

Exemplu : Soluţia celor mai mici pătrate pentru sistemele liniare predefinite

Gauss a descoperit că dacă scriem un sistem de ecuaţii în formă matricială; (1.1)

Sau, , atunci el putea considera problema rezolvării valorii unui estimator care să minimizeze „eroarea masurării estimate” . El putea să caracterizeze acea eroare estimată în termenii normei vectorului Euclidian , sau, folosind pătratul ei:

(1.2)

care este o funcţie continuu diferenţiabilă cu n necunoscute . Această funcţie ca şi orice altă componentă . În consecinţă va obţine valoarea minimă acolo unde toate derivatele care au legatură cu sunt zero. Sunt n asemenea ecuaţii în această formă

(1.3)

pentru k= 1, 2, 3, ..., n. Se observă că în această ultimă ecuaţie expresia

, (1.4)

rândul i din şi suma lor este echivalentă cu produsul coloanei k a matricii H cu . De aceea ecuaţia (1.3) poate fi scrisă

sau , (1.5)

unde matricea transpusa este definită ca:

(1.6)

Ecuatia este numită ecuaţia normală sau forma normală a ecuaţiei pentru problema celor mai mici pătrate liniară. Are exact atâtea ecuaţii echivalente scalare cât este numărul necunoscutele.

Gramian-ul problemei celor mai mici pătrate. Ecuaţia normală are soluţia