Metode Numerice

Introducere

In aceasta etapa a dezvoltării matematicii, analiza numerica ocupa un loc foarte important in cadrul matematicilor aplicative.

Analiza numerica este ramura matematicii care se ocupa cu studiul metodelor numerice pentru rezolvarea unor probleme formulate si studiate in cadrul altor discipline matematice.

Soluţiile numerice sunt inevitabile in domeniul aplicativ si pot furniza informatii preţioase privind soluţia exacta.

Numeroase fenomene din economie, ştiinţa si tehnica se cercetează cu ajutorul modelelor matematice.

Aceste fenomene pot fi caracterizate prin funcţii de una sau mai multe variabile reale, pentru care nu exista posibilitatea determinării lor complete insa analiza numerica elaborează metode pentru determinarea lor aproximativa.

Lucrarea tratează problema preciziei, aproximării unei funcţii continue prin polinoamele de interpolare Hermite-Fejer.

Capitolul I ,paragraful unu face o prezentare a polinoamelor de tip Hermite-Fejer arătând cum se ajunge la polinomul de interpolare al lui Lagrange-Hermite în cazul general.

In paragraful doi se tratează polinomul de interpolare al lui Lagrange-Hermite adica forma polinomului in cazul nodurilor simple, duble, triple si cvadruple.

Paragraful trei tratează cazul in care se aleg ca noduri rădăcinile polinomului lui Cebasev, precum si cazul in care se ajunge de la polinomul lui Lagrange-Hermite la polinomul lui Hermite-Fejer.

Paragraful patru prezintă o demonstraţie a teoremei lui Weierstrass bazata pe polinoamele lui Hermite-Fejer.

Capitolul al II-lea studiază convergenta polinoamelor de interpolare Hermite-Fejer spre o functie f continua pe intervalul [-1,1] .

Paragraful doi prezintă rezultatele obţinute de T.Popoviciu care a îmbunătăţit rezultatul lui P.Fejer arătând:

Insa acest rezultat a fost îmbunătăţit de E. Moldovan arătând ca:

In paragraful trei am prezentat metoda lui R.Bojanic pentru estimarea cat mai precisa a convergentei

si am arătat ca aceasta estimare nu poate fi mult îmbunătăţita .

Paragraful patru prezintă o formula de interpolare cu doua variabile folosind patru noduri multiple si apoi corespondenta formulei de interpolare numerica pentru o integrala dubla extinsa peste un domeniu rectangular. Formula de cubatura(2.4.8) reprezinta o expresie cu doua variabile a formulei de cubatura a lui Hermite(2.4.1).Formula(2.4.10) reprezinta restul acestei formule de cubatura.

Capitolul al III-lea cuprinde un algoritm. Algoritmul calculează si determina polinomul de interpolare Hermite a unei funcţii f continue relative la nodurile (k=0,m) simple sau multiple de ordinele .

Gradul polinomului de interpolare Hermite se determină din relaţia:

Se va determina polinomul de interpolare Hermite cu proprietatea:

Având cele condiţii de interpolare din proprietatea de mai sus se ajunge la un sistem de ecuaţii liniare cu necunoscute care se rezolvă pentru aflarea coeficienţilor polinomului de interpolare Hermite.