Circuite logice combinaționale

CAP. I. NOTIUNI DE ALGEBRA BOOLEANA

1.1. Generalitati

In functionarea unei instalatii electronice, pneumatice sau hidraulice se intalnesc cazuri cand unele elemente functioneaza dupa principiul “tot sau nimic” (de exemplu un intrerupator electric,care poate avea contactul sau electric inchis sau deschia).

Pentru rezolvarea acestor circuite care contin asemenea elemente se foloseste algebra booleeana (algebra binara).

In aceasta algebra exista conventia ca unui element deschis (contact electric, etc) sa i se asocieze valoarea 0, iar cand este inchis, valoarea 1. Aceste valori se numesc, prin definitie stari logice.

Intre logica bivalenta care opereaza cu notiunile de “adevar” si “fals” si algebra booleeana, care opreaza cu stari logice 0 si 1, exista o stransa legatura (unei propozitii adevarate ii corespunde starea logica 1, iar unei propozitii false ii corespunde starea logica 0).

Elementele folosite pentru efectuarea calculelor din algebra booleeana (binara) se numesc elemente logice si cu ajutorul lor, se formeaza functiile logice.

Functiile logice au fost folosite pentru prima data de matematicianul G. Boole in anul 1854, dar intrebuintarea lor in studiul circuitelor de comutatie s-a facut in anul 1938, de catre Claude Shannon.

Intru-cat calculatoarele electronice au un numar mare de circuite de comutatie, algebra booleeana indeplineste un rol foarte important in analiza si proiectarea lor.Algebra booleeana poate fi aplicata la orice fel de element sau circuit (electric, mecanic, pneumatic sau hidraulic), la care se pot distinge doua nivele ale semnalelor.

O variabila booleeana (binara)nu poate lua decat doua valori: 0 sau1. Aceste valori se mai numesc si constante binare.

1.2. Simboluri, identitati si teoreme de baza din algebra booleeana

1.2.1. Simboluri

In tabelul de mai jos se prezinta simbolurile folosite in algebra booleeana.

Interpretarea simbolurilor algebrei booleene se face cu tabele numite tabele de adevar (de valori sau de combinatii)

Denumire Reprezentare

Intersectie sau produs logic “.” (punct, ٨ ,∩, x (semnul inmultirii)

Reuniune sau adunare logica “+” (plus ۷ ,Ụ )

Complement sau negatie “-“ (bara deasupra, “ “(apostrof)

Egalitate sau identitate “=” (egal)

1.2.2. Identitati

In algebra booleeana exista urmatoarele identitati fundamentale:

A + 0 = A A * 0 = 0

A + 1 = 1 A * 1 = A, A = A

A + Ā = 1 A* Ā = 0,

1.2.3. Expresiile fundamentale sau postulatele algebrei booleene

Pe baza acestor postulate se formeaza teoreme cu ajutorul carora se pot simplifica expresiile booleene. Aceste postulate sunt date mai jos.

Postulatul 1. Daca A si B sunt doua elemente distincte din clasa Y, (clasa Y continand cel putin doua elemente distincte), atunci expresia A + B face parte din clasa Y. Acest postulat este valabil si pentru expresia A * B.

Postulatul 2. Daca elementul A face parte din clasa Y si elementul A face parte din clasa Y.

Postulatul 3. (de comutativitate) . Daca A si B fac parte din clasa Y atunci:

A + B = B + A,

A * B = B * A.

Postulatul 4( de asociativitate). Daca A .B si C fac parte din clasa Y, atunci:

(A + B) + C = A + ( B + C),

(A * B ) * C = A * (B * C).

Postulatul 5. Daca A face din clasa Y, atunci:

A + A = A si A * A = A.

Postulatul 6. Daca A si B din clasa Y , atunci:

‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾

(Ā + B) + (Ā + B) = A.

1.2.4. Teoremele fundamentale ale algebrei booleene

Teoreme de unicitate:

elementul 1 este unic:

elementul 0 este unic.

Teoremele complementarii

‾ ‾

A + A = 1 si A * A = 0

Teoremele absortiei:

A + A * B = A si A(A+B) = A.

Teoremele de idempotenta:

A + A = A si A * A = A

Teoremele de comutativitate:

A + B = B + A si A * B = B * A.

Teoremele de asociativitate:

A + (B + C) = (A + B) + C si A * (B * C) = (A * B) * C.

Teoreme de distributivitate:

(A + B) *(A + C) = A + B * C si A * (B + C) = A * B +A * C.

1.2.5. Verificari in algebra booleana

Verificarea proprietatilor algebrice booleene si identitatilor se poate face prin urmatoarele metode:

- diagramele lui Venn;

- tabelele de adevar;

- diagramele lui Veitch sau diagramele Karnaugh.

Produsul logic al tuturor celor n variabile cuprinse de o functie booleana poarta denumirea de termen de produse (sau termen P). Un terrmen P poate folosi fie variabila A, fie complementul ei, A negat, cu conditia ca produsul logic rezultat sa fie egal cu 1. In acest mod se defineste si notiunea de termen suma (termenul S). In t4ermen S poate folosi fie variabila A, fie complementul ei A negat , cu conditia ca suma logica rezultata sa fie egala cu zero.

Termenii S sau P se mai numesc si termeni canonici.

Formele canonice ale unei functii booleene sunt unice .

Formele canonice ale unei functii booleene de o variabila , de doua variabile sau trei variabile pot fi reprezentata sub forma grafica.Aceste reprezentari grafice se numesc diagramele lui Venn.

Tratarea unei functii booleene in asa fel incat variabilele respective sa apara de mai putine ori se numeste simplificarea functiei. Daca o functie booleana este scrisa sub forma canonica, se spune ca se foloseste operatia de dezvoltare a functiei.

Pentru un numar dat de n variabile exista un numar finit 2n, de termeni intr-o suma sau produs logic, numiti termeni elementari.