Modelarea curgerilor prin canal îngustat folosind FlexPDE

1.Generalităţi

Curgerea fluidelor are ca obiect studiul fluidelor sub aspectul comportării lor mecanice. Mai exact, sunt studiate echilibrul (statica) şi mişcarea (dinamica) fluidelor, precum şi interacţiunile dintre acestea şi suprafeţele solide cu care sunt în contact. Este o ramură a mecanicii mediilor continue, domeniu care modelează materia la nivel macroscopic, făcând abstracţie de comportarea la nivel atomic si nuclear. Dinamica fluidelor, constituie un domeniu de cercetare activ cu multe probleme nerezolvate sau rezolvate parţial. Curgerea fluidelor poate fi formulată printr-un formalism matematic avansat bazat pe teoria ecuaţiilor diferenţiale şi algebra complexă. Modelul matematic este obţinut şi prin întrebuinţarea calculului numeric implementabil pe diverse programe CAE sau PDE de simulare. Deasemenea, folosind proprietatea vizibilităţii deosebite a curgerii, fluidele pot fi analizate comportamental prin metoda vizualizării traiectoriilor particulelor.

1.1 Curgerea irotaţională a lichidelor în (x,y)

Cum densitatea normală a unui lichid în domeniul de presiune întâlnit în aplicaţiile practice este putin variabila putem considera ca aceasta este constantă. Mai putem presupune că lichidul alunecă liber pe suprafaţa solidă şi că forţele vâscoase sunt semnificativ mai mici decât forţele ineţiale. Aceste presupuneri sunt valabile în majoritatea cazurilor practice. Deci legea conservării de masă se poate exprima astfel:

(1.1)

Unde ρ0 este densitatea masei şi v este vectorul viteză. Presupunând că densitatea este constantă putem deduce că are loc o conservare a volumului după formula:

(1.2)

sau în forma explicită:

(1.3)

Cum în FlexPDE programul cu care lucrăm nu putem scrie formula sub această formă apelăm la urmatoarea convenţie. Din fericire putem nota componentele vitezei ca derivate ale funcţiei φ. Funcţiile fiind definite în continuare:

(1.4)

Conveţie ce conduce mai departe la relaţia:

(1.5)

Care este o bine cunoscută ecuaţie Laplace.

Până acum sa folosit doar principiul conservării masei dar este important de stiut că orice solutie PDE trebue să fie şi irotaţională (∇ × v = 0), deoarece:

(1.6)

Dar legea conservării energiei ne conduce mai departe la ecuaţia de miscare a lui Benoulli.