Calcul Matricial - Inversare și Factorizare

1. Aspecte introductive

Matlab (Matrix Laboratory) este un pachet de programe, produs de firma The MathWorks, dedicat calculului numeric si reprezentarilor grafice în stiinta si inginerie.

Elementul de baza cu care opereaza Matlab este matricea. O matrice poate fi definita in Matlab fie element cu element, ca o lista, fie în cazul unor matrice de tip special, prin instructiuni specifice.

Principalele operatii cu matrice sunt: adunarea si scaderea, înmultirea, ridicarea la putere, împartirea la dreapta, respectiv la stânga, transpunerea.

Inversa unei matrice

Fie o matrice patratica de ordinul n: A. Se numeste inversa matricei A, o matrice patratica de ordinul n, notata cu A-1 care satisface relatia:

A*A-1=A-1*A=I

, unde I este matricea unitate.

Pentru ca matricea A sa fie inversabila este necesar ca A sa fie matrice nesingulara (determinantul sa fie nenul), A-1 exprimându-se sub forma:

, unde A+ este adjuncta matricei A, adica este transpusa matricei obtinute prin înlocuirea elementelor cu complementii lor algebrici; complementul algebric a elementului A(i,j) este minorul înmultit cu (-1)i+j. Minorul de ordinul n, mij, este determinantul de ordinul n-1 obsinut prin eliminarea liniei i si a coloanei j.

Proprietatiile operatiei de inversare:

Factorizarea unei matrice

Prin factorizarea LU se întelege ca o matrice patratica de ordinul n, A se descompune în produsul a doua matrice patratice, de acelasi ordin cu A,L si U, unde L este o matrice inferior triunghiulara, iar U superior triunghiulara.

Exemple de factorizari LU: factorizare Doolittle, factorizarea Crout, factorizarea Cholesky.

Prin factorizarea Doolittle matricea A se descompune în produsul a doua matrici dupa cum urmeaza:

A=L*U

, unde L este o matrice inferior triunghiulara care are pe diagonala principala 1, iar U este o matrice superior triunghiulara.

Prin factorizarea Crout matricea A se descompune în produsul a doua matrice dupa cum urmeaza:

A=L*U

, unde L este o matrice inferior triunghiulara, iar U este o matrice superior triunghiulara care are pe diagonala principala 1.

Prin factorizarea Cholesky matricea A se descompune în produsul a doua matrice dupa cum urmeaza:

A=L*LT

, unde L este o matrice inferior triunghiulara, iar LT este transpusa lui L, adica o matrice superior triunghiulara.

Pentru ca A sa poata fi descompusa astfel, se impune conditia ca A sa fie simetrica si pozitiv-definita.

O matrice A patratica de ordinul n este simetrica daca AT=A.

O matrice A patratica de ordinul n este pozitiv-definita daca xT*A*x>0 oricare ar fi vectorul x de dimensiune n.

Prin factorizarea QR se întelege ca o matrice A se descompune în produsul a doua matrice Q si R, unde Q este o matrice ortonormala, iar R este o matrice superior triunghiulara.

A=Q*R

O matrice A este ortonormata (ortogonala) daca AT=A-1.

2. Prezentarea metodelor implementate

A. Calculul inversei prin metoda eliminarii a lui Gauss-Jordan

Fisierul functie care a fost realizat este: Gauss_Jordan.m. În acest fisier a fost implementat un program de calcul al inversei prin metoda eliminarii a lui Gauss Jordan pornind de la urmatorii pasi:

(1) s-au facut initializarile: A0=A