Curbura grupurilor pseudo-riemanniene

INTRODUCERE

CURBURA GRUPURILOR PSEUDO-RIEMANNIENE este, in mare măsura, o tema inedita care reflecta proprietati geometrice ale grupurilor Lie.

Teoria grupurilor Lie a fost construita începând din 1873, întreaga teorie a lui Marius Sophus Lie bazându-se pe proprietatile operatorilor diferenţiali si ale constantelor de structura.

In dezvoltarea teoriei grupurilor Lie se pot distinge mai multe etape:

1.Etapa clasica, caracterizata prin contributiile aduse de S. Lie si unii dintre elevii sai.

2.A doua etapa in dezvoltarea teoriei grupurilor Lie este marcata de cercetarile lui Elie Cartan, care reia multe dintre rezultatele anterioare completându-le si demonstrându-le intr-un mod riguros.

3.A treia etapa in dezvoltarea teoriei grupurilor Lie este etapa actuala, cercetarile evoluând in doua directii importante: algebrizare si globalizare.

In prima jumatate a secolului nostru intreaga teorie a grupurilor Lie a fost reconsiderata din punct de vedere al structurilor matematice de baza.

Acesta lucrare este structurata in patru capitole, primele trei capitole continand elemente si rezultate necesare ultimului capitol care poarta numele lucrarii de fata.

Primul capitol al acestei lucrări contine generalitati asupra varietatilor analitice, elemente geometrice pe varietati analitice (conexiuni liniare, curbura, torsiune, tensorul lui Ricci), varietati pseudo-riemanniene si riemanniene, elemente geometrice pe varietati pseudo-riemanniene.

In al doilea capitol sunt cuprinse definiţii si rezultate privind grupurile Lie, algebre Lie, algebra Lie a unui grup Lie, subgrupurile cu un parametru.

Capitolul 3, reflecta invarianta metricilor si conexiunilor pe grupuri Lie. Al doilea paragraf din acest capitol contine o teorema (de caracterizare a metricilor pseudo-riemanniene bi-invariante pe un grup Lie) importanta din teoria grupurilor Lie, care, in particular, ne caracterizează grupurile pseudo-riemanniene.

Ultimul capitol, contine rezultate privind curbura grupurilor pseudo-riemanniene si exemple de curburi pe grupuri riemanniene.

Numele lui S.Lie ramane profund legat de teoria grupurilor care-i poarta numele, teorie centrala in matematica moderna, la intersectia analizei, algebrei si geometriei si fundamentala pentru modelele actuale ale fizicii teoretice.

CAPITOLUL Ⅰ.

GENERALITAI PRIVIND VARIETAI ANALITICE.

ELEMENTE DE GEOMETRIE RIEMANNIANA.

Primul capitol al lucrarii contine generalitati privind varietatile analitice, conexiunile liniare si metricile Riemann pe varietati analitice, varietati pseudo-riemanniene, elemente de geometrie riemanniana. Definiţiile, propoziţiile si notaţiile din paragrafele primului capitol vor fi folosite in capitolele ce urmează.

§ 1. VARIETATI ANALITICE

1.1.Definitie: Fie M o mulţime nevida si A o mulţime oarecare de indici. Se numeşte structura analitica pe M o familie A={(Ua,ha)|aA}, unde Ua este mulţime deschisa in M pentru aA, ha:Ua Rn este injectiva aA astfel încât sunt îndeplinite următoarele condiţii:

(i) familia {Ua | aA} de deschişi din M formează o acoperire deschisa a lui M;

(ii) ha(Ua Ub) Rn este mulţime deschisa, a,b A;

(ⅲ) pentru a,bA, pentru care Ua Ub  aplicaţia hb ha-1 : ha(Ua Ub) hb(Ua Ub) este analitica;

(ⅳ)A este maximal cu aceste proprietati, i.e. pentru orice pereche (U,h) formata dintr-o mulţime deschisa U din M si un homeomorfism h:U h(U) Rn , cu h(U) mulţime deschisa in Rn si cu proprietatea ca pentru orice (Ua,ha) A care verifica Ua U, aplicaţia

h ha-1 : ha(Ua U) h(Ua U) este analitica , exista indicele bA astfel încât (U,h)= (Ub,hb).