Ecuații Eliptice Liniare și Neliniare

Domeniu: Matematică

Conține 1 fișier: doc

Pagini : 71 în total

Cuvinte : 10160

Mărime: 836.92KB (arhivat)

Publicat de: Severin Savu

Puncte necesare: 10

Descarcă acum

Cuprins Extras Bibliografie Preview

Cuprins

Cuprins 2
1. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor eliptice liniare 4
1.1. Teorema proiectiilor 4
1.1.1. Enunţ 4
1.1.2. Proprietăţi variaţionale 8
1.2. Aproximarea unui spaţiu normat 9
1.2.1. Aproximarea internă a unui spaţiu normat 10
1.2.2. Aproximarea externă a unui spaţiu normat 13
1.3. Aproximarea prin diferenţe finite 14
1.3.1. Ecuaţii de aproximare 14
1.3.2. Teorema de convergenţă 15
1.4. Metoda de calcul al erorii 19
1.5. Metoda paşilor fracţionari 21
1.5.1. Ecuaţii de aproximare 23
1.5.2. Teoremă de convergenţă şi evaluarea erorii 24
2. Aplicaţii 27
2.1. Spaţii de funcţii asociate unei mulţimi deschise din Rn 27
2.1.1. Definiţia acestor spaţii 27
2.1.2. Proprietăţi ale spaţiilor Sobolev 29
2.1.3. Aproximarea unor spaţii funcţionale(I) 30
2.1.4. Aproximarea spaţiului 31
2.1.5. Aproximarea spaţiului 32
2.1.6. Aproximarea unor spaţii funcţionale (II) 36
2.1.7. Aproximarea externă a spaţiului 38
2.1.8. Aproximarea externă a spaţiului 40
2.2. Exemplu (I): Problema Dirichlet. 41
2.2.1. Problema exacta 41
2.2.2. Aproximarea prin diferenţe finite 42
2.2.3. Alte tipuri de rezultate 45
2.2.4. Metoda paşilor fracţionari 47
2.2.5. Aplicaţii numerice 49
2.3. Exemplu (II): Problema Neumann 49
2.3.1. Problema exactă 49
2.3.2. Aproximarea prin diferenţe finite 51
2.3.3. Metoda paşilor fracţionari 52
2.3.4. Aplicaţii numerice 53
3. O ecuaţie eliptică neliniară 54
3.1. Problema exacta. 54
3.1.1. Teoremă de existenţă şi unicitate 54
3.1.2. Leme 56
3.1.3. Metoda lui Garlekin 57
3.2. Probleme aproximative 61
3.2.1. Aproximarea externa a spaţiului 61
3.2.2. Ecuaţii de aproximare 64
3.2.3.. Metoda paşilor fracţionari 68
3.2.4. Aplicaţii numerice 69

Extras din proiect

1. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor eliptice liniare

1.1. Teorema proiectiilor

În acest paragraf, demonstrăm o teoremă foarte simplă, cunoscută sub numele de teorema proiectiilor sau teorema Lax-Milgram, şi care implică existenta si unicitatea soluţiilor în sens slab pentru anumite clase de probleme eliptice liniare.

1.1.1. Enunţ

Fie un spatiu Hilbert real în raport cu produsul scalar notat prin

şi a cărei norma asociată lui este notată prin . Fie dualul lui , care la rândul său este spaţiu Hilbert real şi a cărei normă este notată cu . Dacă si , vom nota prin

produsul scalar între şi în dualitatea dintre ’ si sau, cum se mai zice, definim paranteza de dualitate.

De asemenea, considerăm o formă biliniară si continuă pe

şi presupunem că aceasta satisface urmatoarea conditie: , astfel încat , . (1.1)

Condiţia (1.1) se numeşte condiţia de coercitivitate, iar atunci când aceasta este satisfăcută, se spune că forma este coercitivă.

Teorema 1.1. Fie un spaţiu Hilbert real şi o formă biliniara continuă şi coercitivă definită pe . Pentru orice exista un element şi numai unul, astfel încât:

. (1.2)

Mai mult,, aplicaţia

este liniară şi continuă.

Pentri demonstrarea acestei teoreme, vom da ecuaţiei (1.2) o nouă formă, prin introducerea operatorului , definit în mod natural prin (1.2). Astfel, pentru dat, arbirar ales, aplicaţia parţială

este o formă liniară continuă pe şi există deci un element al spaţiului dual pe care îl notăm cu astfel încât:

, .

Este uşor de verificat că aplicaţia

este o aplicaţie liniară a lui în . De altfel, vom demonstra că acesta este un izomorfism al lui pe , dar mai întâi să observăm că ecuaţia (1.2) este echivalentă cu

adică

, (1.3)

egalitatea fiind considerată în dualul .

Dacă demonstram ca operatorul este un izomorfism al spaţiului pe dualul , teorema 1 va rezulta de aici imediat.

Propoziţia 1.1. În ipotezele teoremei 1.1., operatorul este un izomorfism al spaţiului pe .

Demonstraţie. Să aratăm că operatorul , despre care s-a observat mai înainte că este liniar, este continuu în sensul normei spaţiului dual, i.e. este -continuu. Forma biliniară fiind continuă, există o constantă astfel ca

de unde

şi deci

ceea ce demonstrează că operatorul este continuu.

Ţinând seama de condiţia (1.1), avem