Funcții Convexe cu Aplicații în Calculul Variational

Domeniu: Matematică

Conține 1 fișier: doc

Pagini : 72 în total

Cuvinte : 9444

Mărime: 3.18MB (arhivat)

Publicat de: Cornel Sandu Mușat

Puncte necesare: 9

Descarcă acum

Cuprins Extras Bibliografie Preview

Cuprins

- Introducere pag. 2
- Capitolul I – Funcţii convexe de o variabilă reală pag. 3
Definirea funcţiilor convexe pag. 4
Continuitatea şi convexitatea funcţiilor convexe. pag. 7
Convexitatea funcţiilor derivabile. pag. 8
- Capitolul II – Funcţii convexe de mai multe variabile pag.11
Funcţie convexă pag.12
Direcţie posibilă pag.14
Derivata după direcţie pag.16
Subgradient pag.17
Extreme globale ale funcţiilor convexe pag.25
Funcţii convexe de clasă C2, de mai multe variabile pag.28
- Capitolul III – Clase speciale de funcţii convexe pag.29
Inegalitatea lui Young pag.30
Spaţii Orlicz pag.39
Ecuaţii de evoluţie pag.44
- Capitolul IV – Aplicaţii ale funcţiilor convexe ȋn calcul variaţional pag.54
- Capitolul V – Aplicaţii pag. 62
- Bibliografie pag.70

Extras din proiect

Funcţii convexe joacă un rol important în aproape toate ramurile matematicii, precum şi alte domenii ale ştiinţei şi ingineriei.

Noţiunea de funcţie convexă este la fel de fundamentală, ca şi cea de funcţie pozitivă sau de creştere a funcţie. Din acest motiv noţiunea are locul său aparte în teoria funcţiilor reale.

Teoria funcţiilor convexe face parte din obiectul general al convexităţii, din moment ce o funcţie convexă este una a cărei epigraf este o mulţime convexă. Cu toate acestea este o teorie importantă în sine.

Analiza grafică este unul dintre primele subiectele în matematică care impune conceptul de convexitate. Aceasta are generalizare pentru cazul de mai multe variabile, caz utilizat în unele probleme de optimizare şi în teoria controlului. Din acest motiv funcţia convexă a fost extinsă la spaţii Banach şi chiar mai departe.

Convexitate deşi pare o noţiune simplă, este de fapt o chestiune destul de complicată, pentru cei care nu au studiat îndeajuns analiza matematică.

Lucrarea de faţă îşi propune să trateze aspecte teoretice ale noţiunilor de convexitate.

Tratarea acestor noţiuni este făcută atât prin mijloace elementare, cât şi prin tehnici de calcul diferenţial şi integral.

Primele capitole pregătesc bazele teoretice ale acestor noţiuni, care vor fi utilizate în ultimul capitolul, rezervat aplicaţiilor. S-au pus în evidentă diferitele concepte de convexitate şi condiţii minimale de echivalenţă a lor. Multe dintre aplicaţii alese sunt probleme propuse elevilor la diferite etape ale Olimpiadei de Matematica în ultimii ani.

Definirea funcţiilor convexe

Definiţia I.1. O funcţie , unde este un interval, se numeşte convexă, respectiv concavă, dacă oricare ar fi are loc inegalitatea

(I.1)

respectiv are loc inegalitatea

(I. )

oricare fi numerele cu

Se observă că este concavă dacă si numai dacă este convexă. Prin urmare, este suficient să studiem numai funcţiile convexe, deoarece proprietăţi;e funcţiilor concave vor rezulta ţinând seamă de această observaţie.

Dacă în relaţia (I.1), respectiv în (I. ), inegalitatea este strictă oricarea ar fi cu funcţia este strict convexă, respectiv strict concavă.

De asemenea, relaţia (I.1) mai poate fi scrisă sub forma echivalentă

(I.2)

cu ,

deci analog (I. ) poate fi scrisă sub forma echivalentă

(I. )

Interpretare geometrică.