Integrale definite - Aplicații

Introducere

Una dintre problemele de bază ale calculului diferențial constă în determinarea derivatei unei funcții date. Diverse probleme din analiza matematică și multiplele aplicații ale derivatei în geometrie, mecanică și tehnică conduc la problema recip-rocă: fiind dată funcția f, să se afle o funcție F, astfel încît derivata ei să fie egală cu f. Restabilirea funcției, fiind dată derivata acesteia, reprezintă una dintre problemele fundamentale ale calculului integral. Procesul de determinare a unei integrale se numeşte integrare. Spre deosebire de noţiunea înrudită de derivată, există mai multe definiţii posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcţii vor da acelaş rezultat cînd ambele sunt definite. Integralele apar în multe situaţii practice. Să considerăm un bazin. Dacă este dreptunghiular, atunci din lungimea, lăţimea şi adîncimea lui se poate determina cu uşurinţă volumul de apă pe care-l poate conţine, suprafaţa lui şi lungimea muchiei. Dar dacă bazinul este oval şi are şi fundul rotunjit, calculul acestor cantităţi necesită integrale. Aproximările practi-ce pot fi la început suficiente dar în cele din urmă sunt necesare soluţii riguroase ale acestor probleme. Astfel aria suprafeţei bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spaţiu euclidian cu o formă difernţială. Rezultatul obţinut va fi acelaş. În această lucrare în primul capitol se descrie noţiunea de integrală, proprietăţile şi operaţiile cu integrale, iar în capitolul al doilea aplicaţiile integralelor definite în geometrie şi în fizică.

1.Scurt istoric de dezvoltare a integralei

1.1. Noţiunea de integrală

Originele integralei definite pot fi urmărite încă din antichitate și sunt legate de probleme geometrice, cum ar fi determinarea lungimii unei curbe, a ariei unei suprafețe, a volumului şi centrului de greutate ale unui corp. Începând din secolul al XVI-lea, ideea de integrală definită începe să se cristalizeze și în legătură cu rezolvarea unor probleme de fizică, referitoare la studiul mișcărilor neuniforme, la determinarea masei și densității unei bare, la determinarea lucrului mecanic al unei forțe etc. Un moment important din istoria matematicii s-a petrecut la sfîrșitul secolului al XVII-lea, atunci cînd Leibniz și Newton au pus în evidență legătura profundă între noțiunea de integrală și noțiunea de derivată, exprimată prin celebra formulă:

∫_a^b▒〖f(x)dx=F(b)-F(a)〗

Prin teorema fundamentală a calculului integral, pe care au dezvoltat-o indepen-dent unul de altul, integrarea este legată de derivare, iar integrala definită a unei funcţii poate fi uşor calculată odată ce este cunoscută o primitivă a ei. Integralele şi derivatele au devenit uneltele de bază ale analizei matematice, cu numeroase aplicaţii în ştiinţă şi inginerie. Există mai multe moduri de definire a integralelor, şi nu toate sunt echivalente între ele. Diferenţele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcţii care nu sunt integrabile sub o anume definiţie, dar ocazional şi din motive pedagogice. La clarificarea deplină a ideii de integrală s-a ajuns un secol mai tîrziu, prin contribuţiile matematicianului francez- Augustin Cauchy (1789-1857), care a folosit sume integrale de un tip particular și prin contribuțiile matematicianului german - Bernard Riemann (1826-1866), care a introdus sumele integrale, ce-i poartă numele, utilizate pînă în prezent. Ea este bazată pe o trecere la limită prin care se aproximează aria unei regiuni curbilinii prin descompunerea acesteia în zone verticale subţiri. Din secolul al XIX- lea, au început să apară tipuri de integrale mai sofisticate, în care atît tipul funcţiei cît şi domeniul peste care se face integrarea au început să fie generalizate. O integrală curbilinie este definită pentru funcţii de două sau trei variabile, iar intervalul de integrare [a,b] este înlocuit de o anumită curbă care leagă două puncte din plan sau din spaţiu. Într-o integrală de suprafaţă, curba este înlocuită de o bucată de suprafaţă din spaţiul tridimensional. Integralele formelor diferenţiale joacă un rol fundamental în geometria diferenţială modernă. Aceste generalizări ale integra- lor au apărut datorită necesităţilor din fizică, şi joacă un rol important în formularea multor legi din fizică, în principal a celor din electrodinamică [1]. Conceptele moderne ale integrării se bazează pe teoria matematică abstractă numită integrală Lebesgue, dezvoltată de Henri Lebesgue. Leibniz a introdus nota-ţia standard a integralei, de forma unui S alungit. Semnul ∫ notează integrarea, a şi b sunt extremităţile intervalului, f(x) este funcţia care se integrează, iar dx no-tează variabila în care se face integrarea. La început, dx reprezenta o "cantitate in-finitezimală", iar S-ul alungit însemna "sumă". Însă teoria modernă a integralei este construită pe alte fundamente, iar aceste simboluri tradiţionale au devenit simple notaţii.