Modele matematice pe piața de capital - modelul Black-Scholes

INTRODUCERE

Fenomenele economico-sociale au un caracter complex, ceea ce determină ca în studiul lor să se folosească modalităţi de investigare şi instrumente de cercetare din cele mai variate şi uneori, sofisticate. În acest sens, activitatea de cunoaştere din domeniul economic nu se poate realiza fără modelare matematică, formularea şi rezolvarea modelelor economico-matematice implicând utilizarea unor cunoştinţe din diverse domenii, cum ar fi: teoria sistemelor, teoria informaţiei, statistică matematică, control optimal, informatică, analiză numerică etc. Datorită complexităţii modelelor matematice, rezolvarea analitică sau cu ajutorul produselor informatice nu este întotdeauna posibilă, în aceste situaţii intervenind analiza numerică, al cărei rol este de a permite rezolvarea problemelor de calcul generate de diverse aplicaţii din economie, din inginerie şi din numeroase alte ramuri ale ştiinţei.

Modelarea matematică din sfera economică implică în multe situaţii utilizarea ecuaţiilor diferenţiale şi a sistemelor de ecuaţii diferenţiale. Deoarece determinarea efectivă a soluţiilor acestora este posibilă numai în anumite cazuri, se impune folosirea unor metode aproximative.

Lucrarea este structurată în patru capitole.

Primul capitol prezintă modelarea economică şi metodele numerice, precum şi noţiuni fundamentale cu privire la piaţa de capital.

În prima parte a capitolului se evidenţiază complexitatea proceselor economice, atenţia concentrându-se asupra noţiunii de model, realizându-se clasificări ale modelelor după criterii diverse. Studiul proceselor şi fenomenelor economice necesită abordare sistemică şi modelare matematică, pentru care tehnica de calcul este indispensabilă, iar simularea în multe situaţii utilă. Pentru a înlătura factorii neesenţiali şi accidentali, trebuie să se utilizeze teoria probabilităţilor şi statistica matematică.

În cea de a doua parte a capitolului întâi sunt prezentate noţiuni fundamentale ale pieţei de capital, axându-se în principal pe definirea şi înţelegerea derivativelor financiare, punându-se accentul pe unele mecanisme care guvernează piaţa de capital, şi anume: arbitraj financiar, operaţiile de short selling, rata dobânzii continue, contractele forward, contractele futures, tipuri de opţiuni, duplicarea (clonarea) unui activ, prima (valoarea) unei opţiuni.

Întrucât valoarea unui derivativ depinde în mod esenţial de evoluţia preţului S al activului suport, iar acesta este o variabilă stocastică, în capitolul doi voi prezenta unele noţiuni elementare de calcul stocastic.

În partea întâi a capitolului este prezentată legea log – normală în cadrul căreia analizăm densitatea şi funcţia de repartiţie. În partea a doua a acestui capitol sunt prezentate două procese stocastice: procesul Winer şi procesul Ito, procese pe care le voi folosi pe parcursul acestei lucrări.

Mai departe este prezentat preţul unui activ suport ca proces stocastic, iar în ultima parte a capitolului este enunţată lema lui Ito, lemă care generalizează regulile de derivare din analiza matematică clasică, şi o voi aplica în cadrul unor probleme cu derivative.

În capitolul trei, pe baza elementelor de calcul stocastic prezentate în capitolul anterior, voi trece la deducerea modelelor de evaluare a opţiunilor.

În acest capitol voi aminti două tipuri de modele de evaluare a opţiunilor:

1. Modelul Black-Scholes;

2. Modelul binomial.

Menţionez însă faptul că cele două tipuri de modele sunt înrudite, deşi în aparenţă ele pornesc de la ipoteze diferite şi de aceea va fi prezentat doar modelul Black-Scholes, modelul binomial fiind doar amintit.

Ambele tipuri de modele se bazează pe raţionamente de arbitraj şi hedging şi pornesc de la premisa că piaţa nu permite operaţii de arbitraj, în sensul menţionat în capitolul întâi.

În prima parte a acestui capitol va fi dedusă ecuaţia diferenţială Black-Merton-Scholes, a cărei soluţie este reprezentată de modelul de evaluare Black-Scholes, ecuaţie a cărei rezolvare este prezentată în anexa de la sfârşitul lucrării. În cadrul acestei lucrări vor fi prezentate numai o parte din ipotezele ecuaţiei diferenţiale Black-Scholes, de exemplu cea privind faptul că acţiunea este ex-dividend.

Una dintre ipotezele făcute de Black-Scholes (1973) priveşte faptul că activul suport este ex-dividend. Cu alte cuvinte, pe perioada de viaţă a opţiunii, activul suport nu generează venit, respectiv nu necesită cheltuieli suplimentare de întreţinere în cazul opţiunilor pe produse fizice (petrol, cereale, aur sau alte metale preţioase, etc.). Acest caz este studiat de mine pe parcursul capitolului trei, în cadrul subcapitolului „Modelul de evaluare a opţiunilor pentru cazul în care activul suport generează venit”.

În ultimii ani opţiunile pe contracte futures au luat o extindere deosebită, ele fiind tranzacţionate pe multe pieţe. În anul 1976 F. Black a publicat un model de evaluare a opţiunilor pe contracte futures, model pe care este prezentat în ultima parte a capitolului trei.

În capitolul patru este prezentată o aplicaţie a modelului Black-Scholes, utilizarea ecuaţiei în evaluarea obligaţiunilor corporative cu exemplificare în analiza volatilităţii debitului şi în cazul creditelor junior.

Lucrarea se încheie cu un dicţionar de termeni economici care au fost utilizaţi în cadrul acesteia şi o bibliografie ce conţine cărţile care au ajutat la redactarea conţinutului prezentei lucrări.

CAPITOLUL I

Noţiuni fundamentale privind modelele economico-matematice şi piaţa de capital

1.1. Modelarea proceselor economice

1.1.1 Consideraţii generale privind modelarea fenomenelor şi proceselor economico-matematice

În efortul său permanent de cunoaştere a realităţii înconjurătoare omul a inventat “unelte” din ce în ce mai perfecţionate care să-i uşureze munca. Modelarea reprezintă un proces de cunoaştere bazat pe o “unealtă” cu caracteristici speciale : modelul. În dezvoltarea ştiinţelor contemporane, analogiile model-realitate constituie instrumente importante , uneori de neînlocuit, de cunoaştere a fenomenelor şi proceselor lumii reale.