Cuprins
- 1 Notiuni preliminare 4
- 1.1 Multimea numerelor naturale 4
- 1.2 Multimea numerelor ˆıntregi 12
- 1.3 Divizibilitatea numerelor 15
- 1.4 Congruente 19
- 2 Numere Prime 23
- 2.1 Definitie.Propriet˘ati de baz˘a 23
- 2.2 Infinitate multimii numerelor prime 24
- 2.3 Numere prime gemene 26
- 2.4 Ipoteza lui Goldbach 28
- 2.5 Ipoteza lui Gilbreath 30
- 3 Functii aritmetice. 32
- 3.1 Operatii cu functii aritmetice 32
- 3.2 Functia lui M¨obius: 33
- 3.3 Indicatorul ' a lui Euler: 34
- 3.4 Alte consideratii despre functiile aritmetice 35
- 4 Numere prime celebre 37
- 4.1 Numere perfecte 37
- 4.2 Numerele lui Mersenne 38
- 4.3 Numere prime Fermat 40
- 4.4 Numerele prime de forma nn + 1, nnn + 1 47
- 4.5 Descompunerea numerelor prime ˆıntr-o sum˘a de dou˘a p˘atrate 49
- 4.6 Descompunerea unui num˘ar prin ˆıntr-o diferent˘a de dou˘a p˘atrate si alte
- descompuneri. 55
- 4.7 Resturi p˘atratice 60
- 4.8 P˘atrate magice formate din numere prime. 63
- 4.9 Teorema lui Lagrange 64
- 4.10 Teorema lui Wilson 66
- 5 Distributia numerelor prime 68
- 5.1 Functia (x) 68
- 5.2 Inegalit˘atiile lui Cebˆısev 70
- 5.3 Postulatul lui Bertrand 77
- 5.4 Aplicatii ale Postulatului lui Bertrand 82
- 5.5 Functia (s) a lui Riemann 86
- 6 ˆIntrebuintari ale numerelor prime. 88
Extras din proiect
INTRODUCERE
Studiul numerelor prime face parte din teoria numerelor, ramura matematicii care include
studiul numerelor naturale. Numerele prime au fost subiectul a numeroase studii,
dar cˆateva ˆıntrebari fundamentale precum ipoteza Riemann ¸si ipoteza lui Goldbach au
r˘amas nerezolvate mai bine de un secol . Problema model˘arii distribut¸iei numerelor prime
este un subiect preferat de investigare a celor care studiaz˘a teoria numerelor: privite individual
numerele prime par a fi distribuite aleatoriu, dar distribuirea lor globala este
efectuat˘a respectˆand legi bine definite.
Exist˘a indicii ˆın dovezile r˘amase din Egiptul antic care arat˘a c˘a ace¸stia au avut
cuno¸stiint¸e despre numerele prime: fract¸iile egiptene de pe papirus au, de exemplu, forme
diferite pentru numere prime ¸si numere compuse. Totu¸si, cele mai vechi documente care
s˘a sust¸ina existent¸a studiului numerelor prime provin din Grecia antic˘a. Elementele lui
Euclid (300 IHr) cont¸in teoreme importante despre numerele prime, incluzˆand infinitatea
numerelor prime ¸si teorema fundamental˘a a aritmeticii. De asemenea Euclid a ar˘atat
cum se formeaz˘a un numar perfect dintr-un numar prim Marsenne. Ciurul lui Eratostene,
atribuit lui Eratostene, este o metod˘a simpl˘a de a g˘asi numere prime, chiar dac˘a in ziua
de azi la g˘asirea numerelor prime cu ajutorul calculatorului nu se procedeaz˘a astfel. Dup˘a
greci, studiul numerelor prime nu a progresat mult pˆana ˆın secolul 17. In 1640 Pierre de
Fermat a enuntat, fara sa demonstreze, teorema mica a lui Fermat (demonstratie ce avea
sa fie rezolvata mai tarziu de Leibnitz ¸si Euler).
Calug˘arul francez Marin Marsenne a investigat numerele prime realizate prin formula
2n − 1, n fiind num˘ar prim. Sunt numite numere prime Marsenne. Contribut¸ia lui Euler
la teoria numerelor a fost una ˆınsemnat˘a ˆın ce prive¸ste numerele prime. A ar˘atat c˘a seria
infinit˘a e divergent˘a. Se crede ca nu exist˘a nici un num˘ar perfect impar, dar ˆınc˘a nu exista
dovezi. Dupa ˆınceputul secolului 19, Legendre ¸si Gauss au formulat ˆın mod independent
ipoteza conform c˘areia x tinde spre infinitate, numarul de numere prime pˆan˘a la x este
asimptotic lui x/log(x), unde log(x) este logaritmul natural al lui x . Ideile lui Riemann
din lucrarea sa din 1859 despre funct¸ia zeta au schitat un program care va duce la o
demonstrare a teoremei numerelor prime.
Mult¸i matematicieni au lucrat la metode de testat numerele prime pentru numere mari,
adesea restrˆanse la formule de numere specifice . Aici putem include testul lui Pepin pentru
numere Fermat (1877), teorema lui Prot (ˆın jur de 1878), testul Lucas-Lehmer pentru
numere Mersenne (1856), ¸si testul generalizat Lucas-Lehmer. Algoritmi mai recent¸i precum
APRT-CL, ECPP si AKS funct¸ioneaz˘a cu orice num˘ar dar sunt mult mai lent¸i.
Lucrarea de fat¸˘a cuprinde 6 capitole :Not¸iuni preliminare unde am prezentat pe
scurt not¸iuniile necesare ˆın elaborarea temei lucr˘arii not¸iuni ca mult¸imea numerelor naturale
,mult¸imea numerelor ˆıntregi,divizibilitatea numerelor . Al doi-lea capitol se nume¸ste
Numere Prime.Dup˘a cum se ¸stie ,produsul a dou˘a numere naturale este ˆıntotdeauna
un num˘ar natural .Prin urmare exist˘a numere naturale care reprezint˘a produsul a dou˘a
numere naturale mai mari decˆat unitatea.Dar exist˘a de asemenea,numere naturale mai
mari decˆat unitatea :de exemplu 2, 3, 5 sau 13.Toate aceste numere le numim prime . Se
pune ˆıntrebarea dac˘a pentru orice num˘ar natural n > 1 avem posibilitatea s˘a stabilim
dac˘a este sau nu num˘ar prim .Un alt capitol ar fii Funct¸ii aritmetice unde am vorbit
despre funct¸iile aritmetice mai importante precum Funct¸ia lui M¨obius , Indicatorul lui
Euler. ˆIn urm˘atorul capitol prezent˘am Numere prime celebre precum numerele perfecte
. Se spune c˘a grecii aveau un respect foarte mare pentru aceste numere ¸si le numeau
”num˘arul limitat la el ˆınsu¸si”.Se zice c˘a Euclid ar fi ar˘atat c˘a dac˘a 2n − 1 este num˘ar
prim atunci 2n−1(2n −1) este num˘ar perfect . Pˆan˘a ˆın prezent nu s-a g˘asit nici un num˘ar
perfect care s˘a nu verifice condit¸ia lui Euclid . Tot aici vom mai vorbii ¸si despre numere
Mersenne , numere prime Fermat precum ¸si de p˘atrate magice formate din numere prime.
Distribut¸ia numerelor prime este capitolul unde vorbim despre (x) ,postulatul lui
Bertrand ¸si aplicat¸ii ale ale acestuia ˆIn ultimul capitol ne-am propus sa ar˘at˘am c˘a numerele
prime ˆısi au ¸si alte ˆıntrebuintari ˆın afara matematicii pure; ˆIn 1979 cand au fost
inventate conceptele criptografiei cu cheie public˘a numerele prime formau baza primilor
algoritmi precum algortmul de criptare RSA. Din 1951 cele mai mari numere prime au
fost descoperite de calculatoare. Cautarea unor numere prime chiar ¸si mai mari a generat
interes ¸si in afara ariei matematicii .
Pentru elaborarea lucr˘arii s-au utilizat 9 titluri bibliografice.
Capitolul 1
Not¸iuni preliminare
ˆIn acest capitol vom prezenta pe scurt not¸iunile necesare in elaborarea
temei lucr˘arii.Astfel sunt date mult¸imea numerelor naturale ¸si mult¸imea
numerelor ˆıntregi.
1.1 Mult¸imea numerelor naturale
Matematica utilizeaz˘a dou˘a metode pentru elaborarea conceptelor
sale : metoda constructiv˘a si metoda axiomatic˘a . Not¸iunii de num˘ar
natural,unul din conceptele fundamentale ale matematicii,i s-au dat atat
elabor˘ari constructive( adic˘a definirea conceptelor ce intervin ˆın teoriile
matematice pe o cale direct˘a),cˆat ¸si trat˘ari axiomatice(presupune conceptele
date apriori) . ˆIn acest capitol vom prezenta un mod de elaborare
axiomatic utilizˆand sistemul axiomatic al lui Peano.
Elementele mult¸imii N au fost construite.Num˘arul natural reprezint˘a clasa
mult¸imilor ˆıntre care se poate stabilii o corespondent¸˘a biunivoc˘a ¸si ˆın care
operat¸ia de num˘arare are un sfˆarsit.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Numere Prime.pdf