Metode Numerice în Inginerie

Metodele numerice au ca scop prezentarea principiilor şi relaţiilor de calcul matematic numeric care stau astăzi la baza costrucţiei programelor de calcul profesionale. Acestea se referă în principal la operaţiile de interpolare, derivare şi integrare numerică precum şi la metodele de rezolvare a ecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii sau ecuaţiilor diferenţiale.

Prin metodele analitice cunoscute nu se pot rezolva orice tipuri de probleme, dar la baza metodelor numerice stau metode şi modele de calcul analitic specifice algebrei şi analizei matematice. Metodele numerice sunt metode generale de calcul care acoperă o foarte mare gamă de probleme întâlnite în practica inginerească, rezultatele numerice obţinute fiind în general aproximative dar compatibile cu soluţia exactă.

Metodele numerice cuprind:

Metode aproximative de rezolvare a ecuaţiilor algebrice transcendente;

Metode exacte şi aproximative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare;

Metode aproximative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii neliniare;

Metode de determinare a valorilor şi vectorilor proprii ai unei matrice;

Metode ale diferenţelor finite;

Metode de interpolare a funcţiilor;

Metode de derivare;

Metode de integrare numerică;

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale ordinare;

Metoda deplasărilor.

Sunt folosite în rezolvarea unor ecuaţii algebrice polinomiale sau transcendente cu o singură variabilă, ale căror soluţii nu se pot obţine pe cale analitică, prin metodele cunoscute în algebră.

Cele mai utilizate metode numerice aproximative pentru determinarea soluţiilor unei ecuaţii algebrice sunt:

metoda înjumătăţirii intervalului (bisecţiei);

metoda coardei (secantei);

metoda tangentelor de ordinul I a lui Newton(Newton- Raphson);

metoda tangentelor de ordinul II a lui Newton;

metoda iterativă pentru ecuaţii de forma x=g(x).

Fie o ecuaţie algebrică de forma f ( x ) = 0 .

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca acesta să aibă o singură soluţie în intervalul [a, b] este ca funcţia f ( x ) să fie continuă, strict monotonă şi să prezinte o schimbare de semn pe intervalul [a, b], deci f ( x ) trebuie să îndeplinească condiţiile:

f : [a, b]→ R să fie o funcţie Rolle , continuă şi derivabilă în intervalul [a, b] cu f ′( x )> 0 sau f ′( x )< 0;

f ( a ) * f ( b ) < 0 ⇔ f ( a ) < 0, f ( b ) > 0 sau f ( a ) > 0,

f ( b ) < 0 ;

La rezolvarea unor sisteme liniare de ecuaţii (cum ar fi cele care apar la metoda elementelor finite) se folosesc diferite metode care au ca scop reducerea numărului de operaţii elementare în raport cu cele corespunzătoare metodei clasice de rezolvare folosind regula lui Cramer, adică reducerea numărului de date din memoria calculatorului, scurtarea timpului efectiv de calcul şi nu în ultimul rând reducerea erorilor de calcul.

Metodele folosite în prezent pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare sunt de două feluri:

metode de eliminare (Gauss, Gauss-Jordan, Choleski, etc);

metode iterative (Gauss-Seidel, Jacobi, etc).