Problemă plană Boussinesq-Cerruti pentru semiplanul elastic cu gaură circulară

Introducere

Prin cercetarile lui Mesnager facute la începutul secolului al XX-lea, pentru studiul unui pod, pe un model de sticla examinat în lumina polarizata, s-a introdus pentru prima oara în tehnica aplicarea unei importante metode experimentale de studiu a elasticitatii si rezistentei corpurilor, bazata pe fenomenul optic al birefringentei accidentale. Desi acet fenomen a fost descoperit si cercetat înca de la începutul secolului trecut, de catre Seebeck(1813) si Brewster(1815), si desi a fost studiat amanuntit în cursul acelui secol, stabilindu-i-se legile de baza de catre Neumann(1841), Maxwell(1853) si Wertheim(1854), totusi el nu si-a gasit o aplicatie tehnica importanta decât în timpul din urma. Fotoelasticitatea a cunoscut o ampla dezvoltare, în special în ultimele trei-patru decenii, atat din punct de vedere theoretic cât si experimental.

Cu ajutorul acestei metode de laborator, care a devenit o disciplina distincta a elasticitatii experimentale, prin cercetarea unor modele plane confectionate din anumite materiale transparente, examinate în lumina polarizata, se pot studia în cele mai exacte si amanuntite conditii starile de tensiuni în problemele elasticitatii bidimensionale. Ea permite sa se determine starea reala de tensiuni din interiorul corpurilor, fara nici un fel de ipoteze simplificatoare de calcul, si se poate aplica pentru studiul unor probleme teoretice si practice din cele mai complexe.

Capitolul 1. Teoria clasica a contactului

1.1 Problema lui Boussinesq

Preocupat de a evalua interactiunea dintre un picior de pod si pamânt, Boussinesq a modelat problema printr-o forta concentrata F aplicata pe limita unui semispatiu elastic, [GI99]. Deoarece planul limitrof al semispatiului elastic se extinde la infinit în toate directiile, se poate considera ca punctul de aplicatie al fortei este originea planului, asa încât problemei i se poate atasa un sistem de coordonate Oxyz, ca în figura 1.1.Axa z este dirijata dupa normala interioara la semispatiu, iar axele ortogonale x si y sunt continute în planul limitrof, fiind orientate arbitrar. Este evident ca problema prezinta simetrie radiala, asa încât ea poate fi tratata si în coordonate cilindrice r,¸, z. Daca M(x,y,z) este un punct arbitrar din semispatiul elastic, de o raza de pozitie r, iar M' este proiectia acestuia pe planul limitrof, OMaQ reprezinta raza polara, iar unghiul ¸ dintre aceasta si raza x este unghiul polar. Rezolvarea problemei presupune determinarea starilor de deformatii si de tensiuni produse de forta F în acest punct curent.

Pentru solutionarea comoda a problemei se adopta o metoda semi-inversa de rezolvare. Se propune o parte a solutiei, iar restul elementelor se determina din conditia satisfacerii ecuatiilor fundamentale ale elasticitatii liniare.

Se pleaca de la o reprezentare Boussinesq-Papkovici a solutiei ecuatiei lui Lame scrisa în absenta fortelor masice :

în care trebuie sa se determine constanta A si functiile armonice si . Tinându-se seama de particularitatile de simetrie ale problemei, pentru aceste functii se propun expresiile: