Metoda Runge-Kutta în Matlab

METODA RUNGE-KUTTA PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR SI

SISTEMELOR DE ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE

Ecuatiile diferentiale descriu fenomene tranzitorii, cum ar fi încarcarea unui condensator sau ecuatia lui Schrödinger unidimensionala dependenta de timp.

Cel mai simplu caz, al fenomenelor care depind de o singura variabila, are forma:

cu conditia initiala (la limita) y(x0)=a,unde x0 si a sunt constante, provenite, de exemplu, din masuratori experimentale.

Ecuatia diferentiala este folosita pentru a afla valoarea lui y pentru un x diferit de x0. Deci rezolvarea (integrarea) ecuatiei diferentiale este o metoda de extrapolare.

Cea mai simpla abordare este metoda lui Euler, sau a liniilor poligonale, care foloseste din nou dezvoltarea în serie a functiei y:

Aceasta relatie permite aproximarea functiei în punctul x din aproape în aproape prin alegerea judicioasa a unui pas, h=x-x0 suficient de mic.

O aproximare mult mai buna este data de metodele Runge-Kutta, în care se foloseste observatia ca dezvoltarea în serie Taylor produce un polinom de aproximare al functiei, iar derivatele de ordin superior pot fi calculate pornind de la f(x,y). Dupa numarul de termeni din dezvoltare, sunt descrise metodele Runge-Kutta de ordinele I, II, III, IV si V.

Sa scriem noua aproximatie a lui y în forma:

unde variabilele si desemneaza vecinatatea lui x respectiv y fata de care se face aproximarea. In aceasta formula impunem conditia ca dezvoltarea în serie dupa puterile lui h sa coincida cu dezvoltarea în serie a functiei exacte y(x), pentru o putere cât mai mare, s.

unde

Fie s=1 si atunci

Deci, metoda lui Euler este echivalenta cu metoda Runge-Kutta de ordinul I.

Functia trebuie calculata o singura data la fiecare crestere a variabilei cu h.

Fie s=2. Dezvoltarea în serie Taylor are forma: