Estimarea prin Intervale de Încredere

Să considerăm variabila aleatoare X, caracterizată de familia de repartiţii ,ce depind de parametrul θ , a cărui valoare bine determinată nu o cunoaştem şi pe care dorim să o estimăm, pe baza unei selecţii de volum n:x1, x2, , xn.

În metoda punctuală de estimare se caută o funcţie de selecţie Tn(x1, x2, , xn) pe care, în cazul când Tn(x1, x2, , xn) o numim funcţie de estimatie a parametrului θ

Întrucât Tn(x1, x2, , xn) variază ca precizie, este de dorit să dispunem de o indicaţie asupra preciziei ei, iar metoda intervalelor de încredere pe care o punem în evidenţă acum are astfel de virtuţi.

Să presupunem că, pe baza selecţiei menţionate, se pot determina două funcţii de selecţie, şi astfel încât probabilitatea inegalitaţii:

este independentă de θ şi

(δ independent de θ )

Numarul δ se ia foarte apropiat de 1, ceea ce înseamnă ca inegalitatea θ1 ≤ θ ≤ θ2

este îndeplinită în majoritatea cazurilor.

Pentru o selecţie efectuată şi iau valori bine determinate şi prin urmare am găsit un interval care acoperă parametrul θ cu o probabilitate δ apropiată de 1. Cu cât lungimea acestui interval este mai mică şi probabilitatea δ este mai apropiată de 1, cu atât vom avea o indicaţie mai precisă asupra valorii parametrului θ

Intervalul este numit interval de încredere, iar numărul δ nivel de încredere. Numărul ε = 1 - δ este numit nivel de semnificaţie.

Subliniem faptul că afirmaţia “intervalul [θ 1, θ 2] acoperă valoarea parametrului θ cu probabilitatea δ” este corectă, căci θ este fixat (deşi necunoscut) iar θ 1,

θ 2 – capetele intervalului şi variabile aleatoare, depinzând de variabilele de selecţie x1, x2, , xn

Vom prezenta acum două cazuri utilizate frecvent în aplicaţii pentru determinarea unui interval de încredere.

1. Există o funcţie de datele de selecţie şi de parametrul θ , cu proprietaţile:

a) este continuă şi strict monotonă în raport cu θ ;

b) Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare nu depinde de θ sau de alţi parametri necunoscuţi.

Atunci, putem determina două numere θ1(δ ) şi θ2(δ ) astfel încât:

Să folosim acum faptul că U(x1, x2, , xn; θ ) este continuă şi strict monotonă în raport cu θ Pentru a ne fixa ideile, să presupunem că este strict crescătoare în raport cu θ

În acest caz, evenimentul:

este echivalent cu evenimentul:

si, prin urmare, au aceeaşi probabilitate δ:

Am determinat astfel un interval: care acoperă parametrul θ cu probabilitatea fixată δ.

2. Să considerăm o funcţie de selecţie care are funcţia de repartiţie:

G(x; θ ) = P (U(x1, x2, , xn) < x).

Presupunem că funcţia de repartiţie G(x; θ ) admite densitatea de repartiţie

g(x; θ ).

Fie acum r, s două numere reale pozitive, r ≥ 0, s ≥ 0, astfel încât r + s = 1 şi a1(θ ; δ), b1(θ ; δ) două funcţii de θ şi δ pentru care au loc egalităţile:

Dacă [a, b] este intervalul în care funcţia de selecţie U(x1, x2, , xn) ia valori, atunci:

În baza proprietaţilor numerelor r, s şi a funcţiilor a1(θ ; δ), b1(θ ; δ), rezultă:

Urmează de aici ca: şi, deci, probabilitatea inegalităţii este independentă de θ.

Să presupunem că funcţiile şi sunt continue şi strict crescătoare în raport cu θ.

Atunci, există un număr astfel încât inegalităţile:

să fie echivalente; analog, există un număr

astfel încât inegalităţile:

să fie echivalente.

Dar, atunci, inegalitatea:

este echivalentă cu:

Rezultă că am determinat un interval care acoperă cu o probabilitate δ, parametrul θ

În cazul în care repartiţia teoretică a variabilei aleatoare de selecţie U(x1, x2, , xn) este discretă, în loc să considerăm un interval de încredere care acoperă cu probabilitatea δ parametrul θ , vom considera un interval de încredere care acoperă parametrul θ cu o probabilitate cel puţin egală cu δ.

În acest caz, egalităţile:

;

Devin:

;

Intervale de încredere pentru parametrii m şi σ2, dintr-o repartiţie normală N(m, σ)

Pentru a construi un interval de încredere pentru parametrul m vom distinge două cazuri: σ cunoscut şi σ necunoscut.

Intervalul de încredere pentru parametrul m când σ este cunoscut.

Considerăm funcţia de selecţie:

Selecţia fiind efectuată dintr-o proporţie normală N(m, σ), variabila aleatoare este normală N(0; 1) şi, deci, funcţia ei de repartiţie este independentă de parametrul m.

Pe de altă parte este continuă şi strict descrescătoare în variabila m.