Aplicație a echilibrului energiei pentru elementul de volum

Consideram curgerea unui fluid incompresibil N, intre doi cilindrii coaxiali. Cilindrul exterior se roteste, de aceea are loc frecare intre straturile adiacente de fluid, frecare care produce caldura; adica energie mecanica se transforma in energie termica. Sursa volumica de caldura rezultata din aceasta disipare vascoasa se noteaza cu Sv ; marimea ei depinde de gradientul local al vitezei (cu cat straturile adiacente se misca mai rapid cu atat mai mare va fi disiparea vascoasa). Suprafetele cilindrilor interior si exterior sunt mentinute la T=T0 si respective T=Tb. In nivel clar T va fi functie numai de ν.

Idealizarea portiunii sistemului de curgere neglijind curbura suprafetelor.

Aceasta idealizare se poate face deoarece b este mic in comparative cu R.

Legea lui Fourier.

Fluxul de caldura q:

k- conductivitatea termica.

Utilizand sistemul idealizat pentru reactii la coordinate carteziene. Se accepta fara demonstratie acesta expresie ce va fi demonstrate ulterior.

Pentru curgerea laminara a unui fluid cu vascozitate constanta iar profilul de viteze este liniar.

Deci:

Echilibrul energiei pentru un strat cu grosime si latime W si lungime L, va fi:

Trecem la limita

Integram:

; conform legii Fourier

Avem: ; integram

;

Determinam constantele de integrare cu conditiile la limita.

La x=0 T=

La x=b T=

Rezulta:

Br= numarul lui Brinkman – o masura a domeniului in care degajarea de caldura datorita frecarii vascoase este importanta in raport cu incalzirea datorita diferentei de temperature