Controlabilitatea sistemelor continue

Un sistem liniar continuu (SL) este o retea cu un numar finit de receptori pentru intrare, care primesc semnale externe si cu un numar finit de terminale de iesire, cu ajutorul carora se pot masura sau observa iesirile (rezultatele); reteaua insasi constã dintr-un numãr finit de componente primare interconectate unele cu altele, cu receptorii de intrare si cu terminalele de iesire. Multimea considerata pentru variabila timp este T=R.

Consideram sistemul continuu:

Σ∶x ̇(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)

conditia initiala∶x(t_0 )=x_(0 ) (2)

unde x(t),x_0∈R^n,u(t)∈R^m, t,t_0∈R . Functia de intrare u este presupusa masurabila si marginita pe orice interval de timp marginit.

Matricea fundamentala

Consideram problema Cauchy formata din :

Un sistem de ecuatii diferentiale (SED)

x ̇(t)=A(t)x(t) (1’) SED liniar si omogen

Conditia initiala

x(t_0 )=x_(0 )

A(t) matricea n×n cu elementele a_ij (t) functii continue pe R.

Notam cu x_1 (t),x_2 (t),…,x_n (t) solutiile(vectori) a n probleme Cauchy :

{█((x_1 ) ̇(t)=A(t) x_1 (t)@x_1 (t_0 )=e_1=[(1¦0)¦(…¦0)] )┤ ;{█((x_2 ) ̇(t)=A(t) x_2 (t)@x_2 (t_0 )=e_2=[(0¦1)¦(…¦0)] )┤; … ;{█((x_n ) ̇(t)=A(t) x_n (t)@x_n (t_0 )=e_n=[(0¦0)¦(…¦1)] )┤.

Definitie: Matricea formata cu coloanele x_1 (t),x_2 (t),…,x_n (t) se numeste matricea fundamental a matricei A(t).

Formula starii sistemului la momentul t :

x(t)=ϕ(t,t_0 )∙x_0+∫_(t_0)^t▒ϕ(t,s)B(s)u(s)ds (3)

Problema care se pune este de a aduce sistemul dintr-o stare „initiala” data x_0

într-o stare „finala” x_1 într-un interval finit de timp – acest lucru nu se poate face

decât alegând în mod convenabil intrarea u(∙), care din acest motiv se mai numeste si

comanda.

Pentru un SL care nu este stationar valoarea momentului initial este foarte

importantã pentru studiul comportamentului ulterior al sistemului.

Definitie: O pereche de forma (t,x ̃)∈R×R^n , se numeste faza daca x ̃ este starea sistemului la momentul t , adica x(t)=x ̃ .

Perechea (t_0,x_0) este o faza , faza initiala .

Fixam un interval [t_0,t_1]

Definitie: Spunem ca o comanda u:[t_0,t_1]→R^m transfera faza (t_0,x_0) in faza (t_1,x_1) daca in (3)

x(t_1 )=x_1 ,adica x_1=x(t_1 )=ϕ(t_1,t_0 )∙x_0+∫_(t_0)^(t_1)▒ϕ(t_1,s)B(s)u(s)ds (4)

Definitie : Matricea C(t_0,t_1 )=∫_(t_0)^(t_1)▒ϕ(t_0,s)B(s) 〖B(s)〗^T 〖ϕ(t_0,s)〗^T ds se numeste gramianul de controlabilitate al sistemului ∑ .

Teorema transferului de faze

Exista o comanda u:[t_0,t_1]→R^m care transfera faza (t_0,x_0) in faza (t_1,x_1) ⇔x_2≔ϕ(t_0,t_1 )∙x_(1 )- x_0∈Im C(t_0,t_1 ). (5)