Matematică

MATRICI SI DETERMINANTI

1. MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am întalnit înca din primul an de liceu, atunci când s-a pus problema rexolvarii unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute x, y, de forma .

Acestui sistem i-am asociat un teblou patratic, care contine coeficientii necunoscutelor (în prima linie sunt coeficientii lui x, y din prima ecuatie, iar in a doua linie figureaza coeficientii lui x, y din ecuatia a doua): .

Am numit acest tablou matrice patratica (sau matricea sistemului). Pe cele doua coloane ale matricei figureaza coeficientii lui x (pe prima coloana a, ) si respectiv coeficientii lui y (pe a doua coloana b, ).

Definitie. Se numeste matrice cu m linii si n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii si n coloane

ale carui elemente sunt numere complexe.

Uneori aceasta matrice se noteaza si unde si . Pentru elementul , indicele i arata linia pe care se afla elementul, iar al doilea indice j indica pe ce coloana este situat.

Multimea matricilor de tip cu elemente numere reale se noteaza prin . Aceleasi semnificatii au si multimile , , .

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul (deci cu o linie si n coloane) se numeste matrice linie si are forma

2) O matrice de tipul (cu m linii si o coloana) se numeste matrice coloana si are forma

3) O matrice de tip se numeste nula (zero) daca toate elementele ei sunt zero. Se noteaza cu O

4) Daca numarul de linii este egal cu numarul de coloane, atunci matricea se numeste patratica.

Sistemul de elemente reprezinta diagonala principala a matricii A, iar suma acestor elemente se numeste urma matricii A notata Tr(A) . Sistemul de elemente reprezinta diagonala secundara a matricii A.

Multimea acestor matrici se noteaza . Printre aceste matrici una este foarte importanta aceasta fiind

si se numeste matricea unitate (pe diagonala principala are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

1.2. Operatii cu matrici

1.2.1. Egalitatea a doua matrici

Definitie. Fie , . Spunem ca matricile A, B sunt egale si scriem A = B daca = , , .

Exemplu: Sa se determine numerele reale x, y astfel încat sa avem egalitatea de matrici

R. Matricile sunt egale daca elementele corespunzatoare sunt egale, adica:

Rezolvând acest sistem gasim solutia x = 1, y = -3.

1.2.2. Adunarea matricilor

Definitie. Fie , , . Matricea C se numeste suma matricilor A, B daca: = + , , .

Observatii

1) Doua matrici se pot aduna daca sunt de acelasi tip, adica daca au acelasi numar de linii si acelasi numar de coloane, deci A, B .

2) Explicit adunarea matricilor A, B înseamna:

+ = .

Exemplu: Sa se calculeze A + B pentru: