Serii

O serie este un sir infinit între elementele caruia s-a scris semnul operatiei de adunare:

[ Un sir, numit si sir infinit, este o functie definita pe multimea numerelor naturale.

De obicei, pentru siruri, argumentul functiei se noteaza ca indice inferior în dreapta numelui sirului. Astfel, daca x este un sir, se scrie xn în loc de notatia normala de functie x(n).

Uneori, denumirea de sir este extinsa si la alte functii, definite de obicei pe multimi numarabile.

Sirurile sunt utilizate intens în analiza matematica. ]

Elementele seriei pot fi numere reale, numere complexe, vectori, functi având ca valori numere reale, complexe sau vectori, etc. Este necesar ca pentru multimea din care se iau elementele seriei sa fie definite operatia de adunare si notiunea de convergenta.

Fara alte conditii, o astfel de serie se mai numeste serie formala, deoarece (înca) nu se executa adunarea termenilor. Pentru a defini suma (valoarea) seriei, se definesc mai întâi sumele partiale ca fiind sumele unor numere finite de elemente de la începutul sirului:

Se spune ca seria este convergenta daca sirul sumelor partiale este convergent. Pentru o serie convergenta, se defineste suma seriei ca fiind limita sirului

sumelor partiale:

[ Un sir convergent este un sir infinit de elemente dintr-un spatiu metric sau, în general, dintr-un spatiu topologic, având proprietatea ca elementele sale se apropie oricât de mult de un anumit element al spatiului.

Un sir care nu este convergent se numeste divergent.

Într-un spatiu metric X, un sir se numeste convergent daca exista un element astfel încât pentru orice , exista un cu

proprietatea ca, pentru orice , . Numarul x * cu aceasta

proprietate se numeste limita sirului.

Orice sir convergent este sir Cauchy. Reciproca nu are loc decât în spatii metrice complete.]

Exemple:

Probabil cea mai simpla serie infinita convergenta este:

Se poate "vizualiza" convergenta ei pe axa numerelor reale: ne putem imagina o linie de lungime 2, pe care se marcheaza succesiv segmente cu lungimile 1, ½, ¼, etc. Întotdeauna va se va putea marca urmatorul segment, deoarece dimensiunea liniei ramasa nemarcata va fi întotdeauna aceeasi cu cea a ultimului segment marcat: când a fost marcat segmentul ½, a mai ramas o bucata nemarcata de lungime ½, deci putem sa marcam urmatorul segment de ¼. Acest argument nu demonstreaza ca suma este egala cu 2 (desi este), ci demonstreaza ca este cel mult 2 — in alte cuvinte, seria are o limita superioara.

Aceasta serie este o serie geometrica iar matematicienii de obicei o scriu astfel:

unde termenii an sunt numere reale (sau complexe). Spunem ca seria converge la S, sau

ca suma ei este S, daca limita

exista si este egala cu S. Daca nu exista nu astfel de numar atunci se spune ca seria este divergenta.

Câteva tipuri de serii infinite

O serie geometrica este o serie în care fiecare termen succesiv este obtinut prin înmultirea termenului anterior printr-o constanta (numita ratie). De exemplu:

În general, seria geometrica converge daca si numai daca |z| < 1.

Seria armonica este seria:

Seria converge daca r > 1 si este divergenta daca r d 1, acest lucru poate fi aratat cu ajutorul criteriului integral.