Spații vectoriale

Definitie:

Fie o multime ale carei elemente le vom nota prin litere latine mici si le vom numi vectori. Fie de asemenea un corp ale carui elemente le vom nota prin litere grecesti mici si le vom numi scalari. Operatiile din corpul vor fi adunarea si inmultirea scalarilor si vor fi notate aditiv si multiplicative. Elementul neutru la adunare in va fi , iar elementul neutru la inmultire va fi 1. In mod obisnuit corpul va fi corpul numerelor reale sau corpul numerelor complexe . Pe multimea se defineste o lege de compozitie (o operatie) interna numita adunarea vectorilor notata aditiv care face fiecarei perechi sa-I corespunda elementul si o lege de compozitie (operetie) externa in raport cu corpul numita inmultirea vectorilor cu scalari care face ca fiecarei perechi sa-i corespunda elementul . Multimea este un spatiu vectorial (notat prescurtat sv) peste corpul daca :

1. In raport cu operatia de adunare este un grup comutativ (abelian), adica

1.1.

1.2. astfel incat

1.3. astfel incat

1.4.

2. inmultirea cu scalari satisface conditiile

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

Structura se numeste spatiu vectorial (liniar) peste corpul si se noteaza .

Spatiul vectorial peste se numeste spatiu vectorial real, iar spatial vectorial peste se numeste spatiu vectorial complex.

Consecinte:

1) Intr-adevar din axioma 2.2 luand si , avem: sau sau sau (deoarece si ).

2) ( ). Intr-adevar tot din axioma 2.2, luand si , avem, sau sau (conform consecintei 1)) sau (intrucat ).

3) . Intr-adevar, conform axiomei 2.1 in care luam si avem sau sau .

4) , . Intr-adevar, avem sucesiv, . Dar ; deci : .

5) si , . Intr-adevar avem: . Analog, si cum (conform ipotezei) rezulta adica .

6) si asa incat . Intr-adevar, daca admitem atunci conform consecintei 5) ar rezulta (absurd). Deci .

7) si . Intr-adevar, din

Fie un - spatiu vectorial si o familie de vectori din , adica ( - o multime de indici), iar o familie de scalari cu proprietatea ca numai un numar finit de indici cu proprietatea -numita familie de suport finit.

Definitie:

Se numeste combinatie liniara a vectorilor relative la familia de scalari suma: .

Observatii:

1. Tinand cont de proprietatea familiei de scalari rezulta ca suma este o suma finite si deci are sens in spatial .

2. In cazul familia se va numi sistem de vectori.

3. Daca multimea este finita , cererea asupra familiei este oricand satisfacuta.