Pendulul cu Frecare

1. Introducere

Modelul matematic al unui sistem poate fi exploatat prin intermediul unor prelucrări analitice care conduc la formulări sau expresii noi. Dar prelucrările analitice nu sunt întotdeauna posibile, de aceea se apelează la metode specifice calcului numeric. Aceste metode sunt ușor de utilizat într-unul dintre numeroasele limbaje sau medii de programare disponibile în prezent. Astfel investigarea unor proprietăţi ale sistemului studiat revine la rezolvarea numerică a unor probleme, procedee de investigare a căror natură poartă denumirea de analiză asistată de calculator.

2. Utilizarea mediurilor MATLAB şi SIMULINK

MATLAB dezvoltat de firma MathWorks este un mediu software dedicat calculelor tehnico-ştiinţifice. Acesta incude pachetul de bază plus o colecţie de programe organizate pe diferite domenii, care extind funcţionalitatea pachetului de bază.

Nucleul MATLAB încorporează un număr mare de funcţii predefinite, cum ar fi:

- operaţii numerice de uz general;

- manipularea tablourilor şi matricelor;

- rezolvarea unor probleme de analiză numerică;

- reprezentări grafice 2D şi 3D;

- dezvoltarea de programe in limbaj MATLAB si interfaţarea acestora cu sistemul de operare gazdă.

La aceste funcţii predefinite disponibile in nucleul de bază se adaugă un număr însemnat de toolbox-uri. Toolbox-urile, ca şi programele utilizatorilor sunt fişiere sursă scrise în limbajul de programare propriu mediului MATLAB.

Un astfel de toolbox este SIMULINK-ul. Acesta se înscrie în clasa simulatoarelor ce permit descrierea sistemelor prin scheme bloc.

SIMULINK pune la dispoziţie biblioteci de blocuri dedicate, concepute după principiul „pre-designes modules”, care sunt adaptabile cu uşurinţă obiectivelor concrete ale utilizatorului. Filozofia de programare grafică „ drag and drop” ce stă la baza SIMULINK asigură simplitatea modului de definire a aplicaţiilor şi flexibilitatea organizării experimentelor de simulare prin reducerea substanţială a efortului de programare.

3.Pendulul cu frecare. Modelul bond-graph

Metoda Bond-Graph propune, ca principiu fundamental pentru elaborarea modelelor, investigarea modului de procesare a energiei, ce se considera furnizata de una sau mai multe surse şi transferată către toate componentele participante la funcţionarea unui sistem fizic real. Principiul fundamental al metodei exploatează faptul că universul exterior furnizează sistemului, in fiecare moment, o anumită putere, care poate fi exprimată in toate domeniile fizicii.

Limbajul bond-graph conduce la o metodologie riguroasă de construire a modelelor de intrare-stare-iesire şi/ sau diagramă bloc, fiecărui sistem fizic corespunzându-i un bond- graph ce trebuie privit drept un model grafic. Bond-graph-urile posedă proprietatea remarcabilă de a pune în evidenţă izomorfismul comportamental al sistemelor de natură fizică.

Se consideră un pendul format dintr-o tijă de masă neglijabilă de lungime l care, în capătul O, este prinsă de o articulaţie cilindrică fixă în care există frecare vâscoasă proporţională cu viteza de rotaţie, coeficientul de proporţionalitate fiind .

Fig.1 Reprezentarea pendulului

Se roteşte pendulul astfel încât tija să facă cu verticala un unghi φo, după care acesta este lăsat liber sub acţiunea forţei de greutate a masei. Dacă frecarea nu este mare, atunci vor fi executate oscilaţii în jurul poziţiei verticale până la oprire.