Vectori în spațiul euclidian

1 No¸tiuni preliminare

1.1 Segmente orientate

Vom nota cu E3 spa¸tiul euclidian tridimensional.

De…ni¸tia 1.1.1 Vom numi segment orientat un element al produsului cartezian E3E3 = f(A;B) ;A 2 E3;B 2 E3g :

Un segment orientat este format din dou¼a puncte (nu neap¼arat distincte) din spa¸tiul E3. Vom folosi nota¸tia:

(A;B)

def

= AB: (1.1)

Segmentul orientat AB se reprezint¼a ca o s¼ageat¼a cu originea în punctul A si cu vârful îndreptat spre B

(Figura 1.1).

Figure 1.1: Segment orientat în spa¸tiul euclidian E3:

Pe mul¸timea segmentelor orientate E3E3 vom introduce rela¸tia de echipolen¸t¼a, de…nit¼a dup¼a cum urmeaz¼a.

De…ni¸tia 1.1.2 Dou¼a segmente orientate AB ¸si CD din E3 E3 se numesc echipolente dac¼a ¸si numai dac¼a

mijlocul segmentului [AD] coincide cu mijlocul segmentului [BC] :Vom nota AB  CD:

Figure 1.2: Segmente orientate echipolente

Unui segment orientat i se pot asocia urmatoarele no¸tiuni:

- Direc¸tia - este dat¼a de direc¸tia dreptei suport a segmentului.

- Sensul - sensul segmentului orientat AB este de la A spre B:

- Modulul - modulul segmentului orientat AB este lungimea geometric¼a a segmentului [AB] :

Din De…ni¸tia 1.1.2 se observ¼a cu u¸surin¸t¼a c¼a dac¼a dou¼a segmente orientate sunt echipolente, atunci ele au

aceea¸si direc¸tie, acela¸si sens ¸si acela¸si modul.

1

Propozi¸tia 1.1.3 Rela¸tia de echipolen¸t¼a introdus¼a în De…ni¸tia 1.1.2 este o rela¸tie de echivalen¸t¼a, adic¼a:

1. Este re‡exiv¼a:

AB  AB; (8)AB 2 E3  E3 (1.2)

2. Este simetric¼a:

AB  CD , CD  AB; (8)AB;CD 2 E3  E3 (1.3)

3. Este tranzitiv¼a:

AB  CD

CD  EF ) AB  EF (1.4)

De…ni¸tia 1.1.4 Mul¸timea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat AB se nume¸ste

vectorul �A�!B s¸i se noteaz¼a �A�!B sau AB: Mult¸imea segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat de

forma AA se nume¸ste vector nul ¸si se noteaz¼a �!0 sau 0:

Un vector este a¸sadar o mul¸time de segmente orientate, toate având aceea¸si direc¸tie, acela¸si sens ¸si acela¸si

modul (sau lungime). Un element al acestei mul¸timi se nume¸ste reprezentant al vectorului.

Mul¸timea vectorilor din spa¸tiul euclidian tridimensional se noteaz¼a cu V3:

Unui vector i se pot asocia în mod natural urm¼atoarele no¸tiuni:

- Direc¸tia unui vector este direc¸tia dreptei suport a oric¼arui segment orientat care îl reprezint¼a.

- Sensul unui vector este sensul oric¼arui segment orientat care îl reprezint¼a.

- Modulul unui vector este modulul oric¼arui segment orientat care îl reprezint¼a.

2 Opera¸tii cu vectori (1)

Vom trece în revist¼a opera¸tiile cunoscute care se pot face cu vectori. Rezultatele vor … prezentate f¼ar¼a demon-

stra¸tie, aceasta facând obiectul unui curs de matematici elementare.

2.1 Adunarea vectorilor

Adunarea vectorilor este o opera¸tie:

" + " : V3  V3 ! V3; (2.1)

(8) (a; b) 2 V3  V3

"+" ! a + b 2 V3:

de…nit¼a geometric prin regula paralelogramului sau prin regula triunghiului:

Figure 2.1: Adunarea vectorilor: Stânga: regula paralelogramului. Dreapta: regula triunghiului.