Fuzzy

1.1 Introducere în teoria multimilor fuzzy

Una dintre metodele apartinând conceptului de inteligenta artificiala (engl. Artificial

Intelligence) AI, cu larga aplicabilitate în conducerea automata, care s-a impus tot mai mult

în ultimii ani, este conducerea fuzzy (Fuzzy Logic Control - FLC sau Fuzzy Control - FC),

bazata pe utilizarea teoriei multimilor fuzzy MF (engl. Fuzzy Sets) si a logicii fuzzy LF (engl.

Fuzzy Logic). MF pot fi aplicate si în alte scopuri, cum ar fi modelarea unor sisteme

caracterizate de incertitudine, luarea unor decizii pe baza unor informatii incerte, etc.

Sistemele care includ MF si LF se numesc sisteme fuzzy SF.

Printre precursorii SF se numara si matematicianul român Grigore Moisil. Aplicarea

conceptelor de MF si LF în domeniul sistemelor de conducere automata a fost initiata în

1965 de Lotfi A. Zadeh, profesor de origine iraniana de la Universitatea Berkeley (California).

Fundamentarea matematica a acestor concepte a fost realizata în anii urmatori, unele nume

de referinta fiind J. A. Goguen, R. Giles, S. Gottwald, etc. Câteva dintre lucrarile de mare

importanta sau de sinteza privind aplicarea conceptelor fuzzy în automatizari sunt datorate

lui M. Sugeno, E.H. Mamdani, M.M. Gupta, B. Gaines, H.J. Zimmerman, D. Dubois si H.

Prade, A. Kaufman, C.V. Negoita, V. Novak, W. Pedricz, L. Foulloy si S. Galichet, E.

Roventa, etc.

Dintre caracteristicile esentiale ale SF cele mai importante sunt urmatoarele:

f Functionarea lor se bazeaza pe un set de reguli de conducere RC de tipul celor utilizate în

sistemele expert SE:

daca < premiza > atunci < concluzie >

f Cunostintele despre sistem se modeleaza cu ajutorul variabilelor lingvistice VL, de exemplu:

temperatura mare, debit mediu, presiune scazuta etc. Aceasta reprezentare a variabilelor

sistemului este foarte familiara modului de gândire uman si permite abordarea unor sisteme

foarte complexe sau greu de definit în termeni matematici precisi.

Prin utilizarea VL si a LF, SF dobândesc o încarcatura simbolica care le fac perfect

compatibile cu modul de gândire propriu speciei Homo Sapiens Sapiens: operarea cu simboluri,

analizate si sintetizate calitativ. Pot fi astfel valorificate în tehnica abordarile euristice

(bazate pe modul de gândire uman), care daca nu reprezinta de obicei rezolvari optimale, au

în schimb o eficienta deosebita. Prin urmare SF pot fi incluse în categoria sistemelor “inteligente”

fiind compatibile cu alte metode provenite din acest domeniu. Este deja binecunoscuta

afinitatea dintre SF si retelele neuronale RN, având ca rezultate imediate automatizarea

elaborarii RC si adaptabilitatea on line.

Prin apelarea la SF elaborarea legilor de reglare devine extrem de flexibila si de versatila.

Se pot obtine cu usurinta legi de conducere performante chiar si în cazul sistemelor

neliniare sau a sistemelor care nu pot fi modelate matematic intr-un mod satisfacator. La stabilirea

legii de reglare pot participa operatori umani sau experti care au experienta în cazul

procesului care se doreste a fi condus, fara însa a fi necesar ca ei sa detina cunostinte referitoare

la automatizari sau la sistemele fuzzy. Se pot include în baza de reguli de conducere

reguli cu obiective diferite, cum ar fi optimizarea unor indicatori referitori la precizia reglari, la

comportarea dinamica, la economicitatea, la siguranta sistemului, etc. Durata proiectarii si

validarii unui SF este în general mai mica decât în cazul altor metode de conducere.

Desigur, pe lânga aspectele de mai sus pot fi mentionate si unele dezavantaje:

2

f Comportarea unui FLC este de obicei mai putin precisa si riguroasa decât cea a sistemelor

bazate pe algoritmi clasici cum ar fi sistemele PID. Acest dezavantaj este însa compensat

în multe aplicatii de comportarea mai buna a FLC din punct de vedere dinamic si al indicatorilor

globali de calitate ai sistemului.

f Aprecierea performantelor si validarea unui sistem FLC pot fi obtinute de obicei numai

dupa realizare efectiva a sistemului si încercari, sau în cel mai bun caz, prin simulare pe calculator.

Madan M. Gupta caracterizeaza esenta notiunii de MF cu referire la cele doua clase

principale în care poate fi împartita incertitudinea: incertitudinea de clasa unu, provenita din

comportarea aleatorie a sistemelor fizice, respectiv incertitudinea de clasa doi, provenita din

însasi gândirea, rationamentele, cunostintele si perceptia umana:

"Multimile fuzzy opereaza cu multimi, obiecte, sau fenomene care sunt vagi si nu au

delimitari precise. Calculul multimilor fuzzy este un instrument foarte promitator pentru tratarea

incertitudinii de clasa doi (asa cum teoria probabilitatilor opereaza cu incertitudine de

clasa unu)... Logica booleana este neputincioasa în modelarea proceselor cognitive si a gândirii

umane. De aceea nimeni nu mai este astazi indiferent fata de logica multimilor fuzzy.”

1.2 Multimi fuzzy - notiuni de baza

În teoria clasica a multimilor, o multime C este definita ca si o colectie de n

elemente, xi, cu i = 1 ... n, definite într-un domeniu de definitie X. Fiecarui element i se poate

atasa o functie de apartenenta FA, notata ¼(xn), având valoarea:

0 , daca xn C

¼(xn) = (2.1)

1 , daca xn  C

O astfel de multime poate fi denumita “ferma” (engl. crisp), deoarece gradul de apartenenta

respecta principiul tertului exclus din algebra booleana, fiind posibile numai doua

situatii: apartenenta sau non-apartenenta, sau în termeni logici, adevar sau fals.

MF accepta pentru FA orice valoare apartinând intervalului [0 ... 1]. Valorile 0 si 1 au

aceeasi semnificatie ca si în cazul multimilor ferme, adica non-apartenenta respectiv apartenenta

totala a elementului la MF. Valorile intermediare indica masura în care elementul x

apartine categoriei descrisa de multime. Un grad de apartenenta de 0,9 indica o legatura

puternica a elementului cu multimea în timp ce 0,5 arata ca elementul poate la fel de bine sa

fie inclus sau exclus din multime.

O MF A definita pe domeniul X va fi caracterizata de functia de apartenenta

¼A (x) : X ’ [0 ... 1] (2.2)

xX

Se defineste înaltimea multimii A, hgt(A), valoarea maxima a functiei de apartenenta:

hgt(A) = sup ¼A(x) (2.3)

Daca hgt(A) = 1 multimea fuzzy A se va numi normala. Daca hgt(A) < 1, atunci A se

va numi subnormala.

Suportul (baza, latimea) multimii A este format din multimea elementelor xX pentru

care ¼A(x) ` 0:

supp(A) = { xX Ð ¼A(x) > 0 } (2.4)

Toleranta multimii A este format din multimea elementelor xX pentru care ¼A(x)= 1:

3

tol(A) = { xX Ð ¼A(x) = 1 } (2.5)

Definirea notiunii de temperatura confortabila în termeni fermi si fuzzy este prezen